基本图形的“威力”

陈钰杰

虽然我们还没有系统地学习过正方形，但我们在小学就知道正方形的4条边相等，4个角都是直角，这些都为学习全等三角形提供了“天然条件”。最近，我又发现了一些关于它的有趣结论，证明过程有点难，都靠基本图形帮的忙。

一、发现有趣结论

如图1，已知正方形ABCD、正方形EFGC，连接BG、DE。结论1：若I是BG的中点，延长IC，交DE于H，则CH⊥DE;结论2：如果CH⊥DE，延长HC，交BG于I，则I为BG的中点。

二、回顾基本图形

由余角、补角的定义，在图2中有∠1+∠2=90°，在图3中有∠3+∠4=180°。如图4，我们在学习全等三角形时，遇到三角形中线（CI），常常延长CI至J，使JI =CI，连接BJ。由“SAS”可得△GCI≌△BJI，则有BJ=CG、∠J=∠ICG，进而有CG∥BJ，还可以得到∠JBC+∠BCG=180°等一连串的结论。

三、探讨证明过程

结论1的思路：已知I是BG中点，在图4的“唤醒”下，延长CI至J，使JI=CI，连接BJ（如图5），得△GCI≌△BJI，则有BJ=CG、∠J=∠ICG、CG∥BJ、∠JBC+∠BCG=180°等结论。由图3可知∠DCE+∠BCG=180°，所以得到∠JBC=∠DCE。由CE=CG，可知CE=BJ，还有BC=CD，所以由“SAS”得到△ECD≌△JBC，所以∠BCJ=∠CDE。因为∠BCD=90°，所以∠DCH+∠BCJ=90°，又因为∠BCJ=∠CDE，所以∠CHD=90°，即HI⊥DE。我们完成了结论1的探究之旅，接下来挑战结论2吧！

因为∠BCG+∠DCE=180°依然存在，同理可知∠BCJ+∠DCH=90°，结合CH⊥DE，得∠BCI=∠CDE，同理还有∠GCI=∠DEC。因为△DCE与△CBI已有一边一角对应相等，但不能证明它们全等，怎么办？必须构造！面对∠BCG+∠DCE=180°，以及目标——求证的中点，在图4的“唤醒”下，改变作辅助线的说法：过B作CG的平行线，交CI的延长线于J（如图5）。因为BJ∥CG，所以∠BCG+∠CBJ=180°，∠J=∠ICG，所以∠DCE=∠CBJ，由“ASA”證得△DCE≌△CBJ，易得BJ=CE。因为CE=CG，所以BJ=CG。由“AAS”可证得△CIG≌△JIB，得BI=IG，即I是BG的中点。

经过思维冲浪后，我发现，若无法直接证明三角形全等，则需要充分利用问题中的已知条件（有的不那么明显，“藏”在基本图形中）构造全等三角形，例如图5中的“倍长中线”就是构造全等三角形的常作辅助线。

对于图2，还可以“深加工”成图6，我给它起了个名字叫作“三垂直”，以上两个结论也可以用这个辅助线解决，小伙伴们试试吧！

总之，发现和运用基本图形是解决复杂问题的关键，你们说是不是？