初中数学三角形辅助线的构造方法

杨魁平

（遵义市第五十五中学 贵州 遵义 563000）

初中阶段数学学科中很多几何问题的解答，都需要制作辅助线，但是如何有效地使用辅助线，就是解答问题的难点，所以在进行此类问题学习的时候学生会接触到多种辅助线的运用方法，基于辅助线使用的灵活性强，所以在实际运用的时候要具体问题具体分析，不能直接套用现有的辅助线制作方法。例如在解答新的平面几何问题的时候，不能从已有制作辅助线的经验中获得启示，但还是要分析这些辅助线。随着教师对几何解题教学研究的深入，找出几种几何变换的方法，希望可通过此解答几何问题。基于此本文站在几何变换的角度，对平面几何问题中辅助线的运用进行研究。

1.辅助线在数学教学中的运用价值

新课程标准与中考数学考试指南，都提出“空间与图形”是数学教学的重点。一方面，需要学生能够更加直观感受与理解几何的知识，如三角形相似、全等内容学习的时候，学生可以快速反映出题目中的条件与图形，挖掘三角形圈定或者相似方面性质的条件，进而证明。另一方面，学生在进行几何问题解答的时候，提升了自己的逆向思维与推理能力。这样在解决复杂的几何问题的时候，辅助线的作用就显现出来了，以其合理引入为前提，转化几何问题。现在新课改要求学生在进行“空间与几何”问题解答的时候，提升几何直观能力，并能通过几何体的表面条件能够看到另一个层次，因此当看到几何事物的时候，就会联想到已学知识，建立连接。一般来说就是通过图形为依托，进行深度思考，其中借助辅助线的工具，可助学生将已知条件与新创建的条件结合，进而解决几何问题。据此，在初中数学几何问题的解答中，可以使用辅助线，在一定城府下，帮助学生提升几何直观素养，发展几何推理发展提供适合的途径。在学生解答几何问题的时候引入辅助线，可适当克服解题过程中产生的思维阻力，更快感知解答思路。在此辅助线在几何问题解答中起到的作用为：

1.1 显示图形中的隐藏条件

很多几何问题的编制，为了考察学生数学思维能力与推理能力，会将本就存在的线段隐藏起来，此就间接地增加了问题的难度。学生结合已知条件在图形中增加辅助线，在一定程度上补充了原来的图形，还隐藏了定理与性质直接展现出来。另外还能助学生清晰解题思路，借助已有知识，快速解答此类问题。

1.2 根据已知条件，为未知答案构建“桥梁”

很多几何问题中条件与未知无直接联系，学生按照正常的思想无法分析，不能建立与多条件之间的关系，所以不能充分发挥各个条件的作用。但是通过辅助线的使用，就能将原本不能建立起来的联系构建起来，充分利用所给条件为未知结论的解答做有利纽带。

1.3 有效转化问题 由于几何问题比较复杂，所以学生在读完题目后，不能依据自身思维，建立适合的数量关系，另外面对此类问题，学生还会产生退缩心理。而辅助线的运用，就会将原有复杂的问题进行分解与重新整合，快速找到适合的突破口，将复杂的问题向简单转化，缕清解题思路快速整合。

2.初中数学三角形辅助线的构造方法

2.1 遇角平分线构造的辅助线

初中生学习三角形之后，在解题的时候经常会遇到角平分线的问题，内角平分线与外角平分线的运用与处理则成为解答问题的方法，如运用角平分线的性质证明三角全等或者三角形线段、角的相等。或者利用角平分线的对称性质，翻折图形，然后进行推理论证与计算。在此，可根据三角形角平分线的性质，总结几种做辅助线的方法，即过角平分线上的点，向两边取相等的线段；过角平分线上的点，向两边做垂线段；过三角形角一边上的点，做角平分线垂线；过角平分线上的点，做一边的平行线。

图1

图2

第二，一个角先做出角平分线，然后在角平分线上分别向角的两边，做相等的线段，形成的两个三角形是全等的。例2，如图2，三角形中，∠C=2∠B，AD是∠BAC的平分线，请证明DC=AB-AC。此问题就是根据AD平分∠BAC，在AB上截取一点E，让AE=AC，在此就构建两个全等三角形。找到点E后，连接DE，可知∠C=∠AED，CD=ED，再根据题目给出的条件，得到∠C=2∠B，∠AED=∠EDB+∠B，得到EB=ED. DC=BE，又因为BE=AB-AE=AB-AC，由此可证DC=AB-AC。

第三，角一边上的一点，做角平分线的垂线。此垂足为三角形底边上的中点，而此角平分线所在的直线，又是底边上的高与中线所在直线，在此就可运用等腰三角形“三线合一”的性质证明。OE是∠AOB的角平分线，做OE的垂线与直线OA相较于点D，延伸DE，与OB相交与点F，在此三角形ODF为等腰三角形，角平分线OE与三角形底边DF上的高与中线为一条直线。例3，三角形ABC中，CD是∠ACB的角平分线，AD与CD垂直，DE和BC平行，求EB=EA。此证明题根据两直线平行，在证明点D是AD所在某直线的中点即可，在此延长AD，与BC相较于F，再根据CD是∠ACB的角平分线与AD垂直于CD，得到三角形ACD与FDC全等，在此得到AD=FD，最后可证明EA=EB。

第四，过角平分线上的点，做边的平行线，可得其线段与该线所截的交的边长度相等。例4，∠AOB为30°，OD是角平分线，过点D做DC与OA垂直，与OA相较于点C，若DC=4，求OC的长。分析题意，可根据OD是∠AOB的平分线，想到过点D，构建等高三角形，所以过点D做ED与OB平行，然后依据等腰三角形性质求解。再根据题目中给出的∠AOB的度数，依据等角转换，得到包含30°的直角三角形。

2.2 遇边上中点构造的辅助线

初中阶段的数学，关于三角形的问题，较多与三角形得中位线、中线有关。基于此平面几何问题的解答，可根据边上的中点做三角形的中线或者中位线解答。

2.3 遇边上的高构造的辅助线

在学生学习三角形的高后，就可根据其有关性质做辅助线。

第二，直角三角形中可做斜边上的高，然后以“等角的余角相等”或“同角的余角相等”证明三角形相似，进而利用成比线段求解问题。直角三角形ABC中的∠C=90°，过点C直线AB的垂线，与其相较于点D，则有∠A=∠BCD，∠B=∠DCA，三角形ABC与CBD与ACD相似，进而有很多成比例的线段。

结论

初中平面几何作为数学中的基础课程，教师要有效培养学生解答几何问题的能力，在三角形问题的解答中，辅助线的构造很重要，可构成新的图形，组建新的关系，进而增加解题条件，提升解题效率。