一类圆锥曲线定点问题的解题策略探究 教学设计
2022-06-08张秀春
张秀春
一、内容和内容解析
1.内容：圆锥曲线中的定点问题，主要包括圆锥曲线中的动直线过定点问题和圆锥曲线中的动圆过定点问题。
2.内容解析：
内容的本质：定点问题是在变化中表现出来的不变的量，可以用变化的量（参数）表示问题中的直线方程，而此直线方程又不受参数影响的一个点，就是要求的定点。系数含有参数的直线方程称为直线系方程，直线系方程会随着参数的变化而形成一系列直线，称为直线系。当参数满足一定条件时，直线系会经过某个定点。从代数的角度来看，将参数看作主元，分离参数，令各项的系数与常数项都为0，得到关于x，y的方程组，若关于x，y的方程组有唯一解，则直线系经过定点，否则直线系不经过定点。
蕴含的数学思想和方法：圆锥曲线中的定点问题蕴含了运动与变化的思想、特殊与一般的思想、数形结合的思想方法、转化与化归的思想方法。
知识的上下位关系：过定点的曲线系方程是上位概念，过定点的直线系方程与圆系方程是下位概念。
育人价值：通过探究圆锥曲线中的定点问题，让学生学会观察变化中的不变性，发现特殊中的一般性，学会运用类比猜想探究问题，并加以拓展与推广，培养学生的直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模等数学核心素养。
3、问题诊断：学生对直线系过定点的求解原理与方法不熟悉，对如何处理圆锥曲线中的定点问题有畏难情绪，对含有参数的解析几何运算不过关。
4、教学难点：领悟对参数的常用处理思路和对参数设而不求的常用运算技巧。
二、教学支持条件分析
（1）学生已经学习了直线与圆锥曲线的方程与性质，熟悉直线与圆锥曲线的位置关系，具备探究直线系过定点过定点的基本能力。
（2）运用“GeoGebra”的画图与动画功能，可直观演示动直线与动圆的不同位置，帮助学生观察、猜想定点的位置，促进学生对定点问题的直观理解与拓展推广。
三、课时教学目标
1.学会观察动直线过定点的几何特征与代数特征。
2.学会梳理圆锥曲线中动直线过定点的常见思路。
3.通过经历设参、用参、消参的解题过程，不断积累处理参数的技巧，提高运用类比方法探究一般性问题的能力。
四、教学重点与难点
（1）教学重点：梳理圆锥曲线中动直线过定点问题的常见思路。
（2）教学难点：处理参数的技巧及求解问题的方法。
五、教学过程
环节1、问题引入。
【问题1】回顾课本：选择性必修一教材80页16题：已知λ为任意实数，当λ变化时，方程3x+4y-2+λ（2x+y+2）=0，表示什么图形？图形有何特点？
解析：当λ变化时，方程3x+4y-2+λ（2x+y+2）=0）表示直线，这些直线都经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点（-2，2）。
师生共同梳理总结出求解直线过定点问题的基本思路及常用方法：
①几何方法 ②代数方法 ③先猜后证法
环节2、问题探究。
【问题2】如果直线系方程未知，如何判断动直线是否过定点？
如例1，过椭圆 的上顶点P作两条互相垂直的直线交椭圆于A、B两点，求证：直线AB恒过y轴上一定点。
【问题2-1】未知直线系方程，如何判断动直线是否过定点？能否先求出直线系方程再进行判断？
【问题2-2】若直线系过定点，则直线方程的系数有什么特点？直线的斜率是否含有参数？
【问题2-3】如何选择合适的参数求出直线系方程？
师生活动：首先教师结合问题2-1、问题2-2、问题2-3与学生一起分析例1的解题思路，并展示回答例题的解法，同时相互交流在解题过程中的一些困惑。
设计意图：通过一系列的问题探究，给学生创设探索问题的深度和广度，引领学生感悟思想，养成“从思想的高度考察具体事例”的意识和“透过现象看本质”的能力。
環节3：课堂小结。
你能简要的概括本节课的学习要点吗？
师生共同概括本节课的学习要点：
1：直线过定点问题
2：主要数学方法：数形结合法、先猜后证法
3：发现问题、分析问题、解决问题的能力。
【作业设计】（略）
