微分中值等式与不等式的证明方法

李琨

摘 要：在高等数学中，罗尔定理、拉格朗日定理以及柯西定理都是非常重要的内容，利用这三个定理能够解决高等数学中的很多问题。文中，在介绍了罗尔定理、拉格朗日定理以及柯西定理的基础上，就微分中值等式以及微分中值不等式的证明方法进行了探讨。

关键词：微分中值等式 微分中值不等式 罗尔定理 拉格朗日定理 柯西定理

在高等数学的学习中，罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理这三个微分中值定理是非常重要的结论，利用微分中值定理可以建立许多高等数学的理论和方法，还可以建立很多的微分中值等式与微分中值不等式。所谓微分中值等式就是含有中值的微分或导数的恒等式，所谓微分中值不等式就是含有中值的微分或导数的不等式。本文就这些中值等式与微分中值不等式的证明给出了几种有效的方法。

4 结语

微分中值定理在数学分析的理论中有着非常重要的作用，对许多数学理论的建立具有特别重要意义，也是微积分学的核心内容。微分中值定理还是建立积分学的理论基础，微分与积分之间的联系也是在它的基础之建立上的。微分中值定理还是研究函数分析性质的有力工具，在研究函数的单调性与极值、凹凸性与拐点等函数的性态问题中广泛应用，在最优化等实际问题方面也有着广泛的应用，为我们解决应用数学问题提供了坚实的理论基础。微分中值定理还在证明微分不等式和微分等式、求函数极限等方面有着广泛地应用。

微分中值定理为我们学习数学理论，应用数学理论解决实际问题提供了很大的便利，在应用时经常需要构造辅助函数，在本文的例1，例2，例3中都有體现，如何构造恰当的辅助函数，再应用微分中值定理来解决理论问题和实际问题的思想，应引起特别重视。

总之，在掌握了罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理的基础上，可以帮助我们更好的证明微分中值等式与不等式的。上文在结合具体例子的基础上，进一步介绍了如何通过罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理证明微分中值等式与不等式。希望可以为微分中值等式与不等式的证明提供借鉴。

参考文献：

[1] 梁静.基于微分中值定理的基本不等式证明方法[J].长春师范大学学报，2020，39（12）：10-15.

[2] 陈书坤.柯西中值定理在解题中的应用[J].科技经济市场，2020（4）：147-148.D8CE6692-00A9-41C9-9468-22FD7995B9FE