逆向生成，落笔有据

曹海燕

在初中阶段，同学们共学习了五种基本的尺规作图。我们除了要掌握作图的步骤，还要知道这些步骤背后的依据，做到知法明理。事实上，我们在解决尺规作图题的过程中，更需要多观察，多推理，多假想。

一、感知尺规作图的步骤

例1 （2021·江苏泰州）（1）如图1，O为AB的中点，直线l1、l2分别经过点O、B，且l1∥l2，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交直线l2于点C，连接AC。求证：直线l1垂直平分AC。

（2）如图2，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两直线间距离相等，点P、Q分别在直线l1、l4上，连接PQ。用圆规和无刻度的直尺在直线l4上求作一点D，使线段PD最短。（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹。）

【解法突破】（1）连接OC，根据作图步骤，可知OC=OA，则△AOC是等腰三角形，要证直线l1垂直平分AC，只需证l1⊥AC或l1平分∠AOC即可。

（2）在直线l4上求作一点D，使线段PD最短，即求作PD⊥l4。根据（1）的结论，我们以点T为圆心，PT长为半径画弧，交直线l3于点E，此时PE⊥l2，则PE的延长线与l4的交点D即为所求，如图3。

【反思提升】本题如果没有第（1）题作为铺垫，我们运用常规的数学思维来解决第（2）题的尺规作图问题便容易陷入困境。因此，解尺规作图题时，我们要学会逆向思维，尝试打破常规。

二、掌握尺规作图的方法

例2 （2021·江苏南京）如图4，已知P是⊙O外一点，用两种不同的方法过点P作⊙O的一条切线。

要求：（1）用直尺和圆规作图;

（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明。

【解法突破】在解本题时我们遇到的最大困难是如何确定切点的位置。此时我们不妨先假设点D是切点，则点D满足两个条件：（1）点D在⊙O上;（2）OD⊥DP。

方法一：当OD⊥DP时，∠ODP=90°。连接OP，由OP是∠ODP的对边，我们能推断出点D在以OP为直径的圆上，再结合条件（1），就能很快确定点D的位置，作出图5。

方法二：假设PD是⊙O的切线，则△POD是直角三角形且∠PDO=90°。延长PO交⊙O于点D?，过D?作OD?的垂线l。以O为圆心，OP为半径作弧，与l交于点P?，则△P?OD?≌△POD，得P?D?=PD。所以，如图6，以P为圆心，P?D?为半径作弧，与⊙O交于点D，则PD即为所求。

【方法小结】解决本题的方法很多，在实际作图的过程中同学们也会发现切点D的位置不唯一。通过解这道题，我们得到经验：在解尺规作图题时，通常以基本作图为基础，逆向思考，先尝试构造符合题意的“效果图”，再结合条件进行几何推理，确定作图方法，进而画出正确的目标图形。

（作者单位：江苏省海安市城南實验中学）C5BBB0AC-E93A-4337-8604-5BEA963A4FF7