例谈一元二次方程的解法

宋颖

只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程是初中数学的一个重点内容，因此掌握一元二次方程的解法尤为重要，解一元二次方程的基本思想是将高次转化为低次，即通过“降次”的方法将一元二次方程化为一元一次方程.常用的“降次”方法一般有以下几种：公式法、直接开平方法、因式分解法、配方法.

一、公式法

公式法是根据一元二次方程的一般表达式ax2+ bx+c=0（a≠0），利用一元二次方程的求根公式进行求解，公式法是解一元二次方程的基本方法，任何化为一般式的一元二次方程都可用求根公式求解，并可用根的判别式判断根的情况，

用公式法解一元二次方程的步骤：

点拨：公式法是解一元二次方程的重要方法之一，因此，求根公式一定要熟记.用公式法求解要先把方程转化为一般形式，明确公式中字母在题中所表示的量，再代入公式进行计算，最后的根如果有根号要化成最简形式，

点拨：用直接开方法解一元二次方程，一般不用把方程转化为一般形式，因为正数的平方根有两个且互为相反数，所以在开平方时要特别注意记得取正、负两个平方根，防止丢根.

三、因式分解法

因式分解法就是把方程一侧的数（包括未知数1，通过移动使其值化成0，把方程的另一側各项化成若干因式的乘积，然后分别令各因式等于0，从而求出其解的方法，

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

（1）移项，令方程的右边等于0;

（2）将方程的左边进行因式分解;

（3）将原方程化为两个一元一次方程;

（4）写出方程的两个解，

点拨：因式分解法是将一个一元二次方程转换为两个一元一次方程来解.它体现了降次和化归的思想.但在用因式分解法解一元二次方程时一定要注意：每一步都必须是同解变形，否则容易丢根.

四、配方法

配方法就是把方程配成一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，再用直接开平方法求解，配方时，方程左右两边需同时加上一次项系数一半的平方，

用配方法解一元二次方程的步骤：

（1）若二次项系数不是1，要先将其化为1;

（2）把常数项移到方程的右边;

（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方;

（4）方程左边写成完全平方形式，右边合并同类项;

（5）根据平方根意义，方程两边开平方;

（6）解一元一次方程;

（7）写出原方程的解，

点拨：用配方法解一元二次方程的关键是把方程左边化为含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，即（x- m）2=n的形式.如果n≥0就可以通过开平方来求出方程的解;如果n<0，则原方程无解，

总之，一元二次方程的解法并不是固定的，一成不变的.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+x=0），应选用直接开平方法;若常数项为0 （ax2+ bx=0），则选用因式分解法;若一次项系数和常数项系数都不为0（ax2 +bx +c =0），就先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，则选用因式分解法，否则选择公式法;若二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法也比较简单，同学们应选用适当的方法进行解题.