如何利用全等变换构造全等三角形
2022-05-31孔雪莲
孔雪莲
我们知道,两个全等三角形的形状相同,大小相等.因此,把全等三角形中的一个图形通过不同的方式变换位置,一定能与另一个图形重合,那么只要掌握了这些变换位置的基本规律,我们在解与全等三角形有关的题目时就会思路更清晰.下面介绍利用几何的全等变换构造出全等三角形的几种类型.
一、构造轴对称型全等三角形
把一个三角形沿着某条直线翻折180°,如果它能够与另一个三角形重合,那么这两个三角形就叫做轴对称型全等三角形.在证明题目时,通过轴对称变换可以把不是轴对称的图形添补为轴对称图形;或将对称轴一侧的图形通过对称变换反射到另一侧,以实现条件的相对集中,便于解题.一般有下列条件时可构造轴对称型全等三角形:相等线段或相等角关于某直线对称;有公共角;有对顶角;有角平分线或垂直平分线.
例1如图1,在等腰直角△ABC中,∠BAC= 90°,D为其内部一点,且∠ABD= 30°,BD= BA.求证:AD= CD.
二、构造平移型全等三角形
將一个三角形按照某条直线的方向移动一定的距离,可得到与之全等的三角形,这种全等三角形称为平移型全等三角形.平移是一种只改变图形的位置而不改变图形大小及形状的变换,其实质是构造了有特殊位置关系的全等三角形,通过平移变换可以把某些相对分散的条件集中起来,帮助解题.平移型全等三角形的特点是对应边平行且相等(或在同一直线上),对应角是同位角.
三、构造旋转型全等三角形
把一个三角形绕着某点旋转,得到的三角形与原三角形是一对旋转型全等三角形,与平移变换一样,旋转变换的主要作用也是集中问题的已知条件,挖掘已知条件与结论的内在联系,简化解题过程.在等腰三角形、等边三角形及正方形等图形中,常构造旋转型全等三角形,旋转时要注意确定旋转中心、旋转方向及旋转角度的大小,
四、构造中心对称型全等三角形
一个三角形绕某一点旋转180°,得到的三角形与原三角形是一对中心对称型全等三角形.它的特点是对应边平行且相等或在同一直线上,当图形中有线段的中点时,常选择相关图形绕此中点旋转180°构造中心对称型图形,解题时也可通过将基本图形不完整部分补完整,或过端点作平行线,或延长线段为原来的2倍来构造中心对称型全等三角形.
平移、旋转、中心对称、轴对称是研究全等三角形的有效工具.运用上述全等变换的方法构造全等三角形,思路清晰明了,能帮助我们迅速找到解题的突破口.同学们要掌握全等变换的方法,灵活迁移运用,通过构造出全等三角形使问题得以快速、有效地解答.