面向精密位置服务的低轨卫星轨道预报精度分析

袁俊军，李 凯，唐成盼，周善石，胡小工，曹建峰

1. 中国科学院上海天文台, 上海 200030; 2. 中国科学院大学, 北京 100049; 3. 上海市空间导航与定位技术重点实验室，上海 200030; 4. 北京航天飞行控制中心, 北京 100094

近年来，利用大规模低轨卫星星座建设LEO导航增强系统成为研究热点[1-4]。LEO卫星普遍运行于约300～1500 km的近地轨道，飞行速度快且相对于地面监测站的图形结构变化快。LEO卫星理论上可提供信号功率更强的导航信号[5]，缩短精密单点定位中模糊度收敛时间[6]，为用户提供实时高精度的定位、导航、授时(positioning，navigation and timing，PNT)服务。目前国内外众多机构对LEO导航增强系统开展研究或实质建设，如国内的“鸿雁”“微厘”等LEO导航增强系统已发射前期试验星[4]。基于星载全球导航卫星系统(GNSS)数据实现LEO卫星轨道预报，向用户播发LEO卫星自身“广播星历”是LEO导航增强系统的关键技术环节之一。

关于LEO卫星轨道预报，众多学者已对此展开一系列研究。目前常用的LEO轨道预报方法主要有多项式拟合法、轨道根数分析法、动力学拟合法及定轨预报同时处理等。多项式拟合法将离散的轨道点进行多项式拟合并轨道外推。该方法实现简单，但由于LEO卫星轨道变化快，预报精度十分有限。文献[7]利用切比雪夫多项式拟合预报CHAMP卫星100 s轨道，预报误差超过2 m。文献[8]使用切比雪夫多项式、最小二乘多项式等拟合方法预报HY2A卫星3～4 min轨道，预报误差4～10 m。分析法则获取某时刻轨道根数后直接轨道外推，如文献[9]利用分析法进行轨道预报试验，但预报精度较低，多用于空间目标监测等对预报精度要求不高的领域。动力学拟合法是利用离散轨道重新拟合初始轨道及动力学信息后进行轨道积分外推。文献[10]利用该方法预报HY2A卫星12 h轨道，三维位置(3D)均方根误差(root mean square error,RMS)优于6 dm。文献[11]结合Collocation积分方法，预报JASON-2卫星12、24、48 h轨道，3D RMS分别优于0.8、1.8、5.5 m。定轨预报同时处理方法则利用定轨过程中的相关动力学信息进行轨道积分外推，如文献[12]利用该方法预报GIOVE-B卫星24 h轨道，精度可达1 m。

目前LEO卫星轨道预报多用于空间目标碰撞预警[13]、航天器空间交会[14]、地面追踪[15]等领域，针对精密位置服务的LEO导航增强领域研究较少，且LEO导航增强系统更关注短弧段轨道预报精度[1,4]，并且不同任务需求对于LEO轨道预报算法的要求也不相同。对于地面端(称为“星下”)及卫星端(称为“星上”)等不同解算环境下，轨道预报实现条件有较大差异，而针对这些不同任务需求的LEO轨道预报研究仍相对较少。

本文从LEO导航增强领域出发，首先简述了轨道预报算法及算法比较，其次在星下、星上两种模拟条件实现LEO卫星轨道预报并评估预报精度，然后分析了影响各个算法预报精度的因素，最后根据试验结果给出相应结论。

1 LEO轨道预报

1.1 轨道预报原理

在受摄二体问题力模型下，LEO卫星运动微分方程可表示为[16]

(1)

算法1：若已知LEO卫星在初始时刻t0的轨道参数，通过对上述卫星运动方程积分即可获取卫星指定时刻的位置速度。该初始轨道参数往往不能直接精确获取，需要利用星载观测数据和卫星动力学信息去反复迭代，不断改进待估参数和摄动力模型参数以便获取最优解。因此，算法1将精密定轨和轨道预报同时进行，利用精密定轨解算的初轨和动力学参数进行积分外推，即可获取预报轨道。

(2)

1.2 算法比较

综上，算法1、算法2首要不同之处在于观测量不同，以及因观测量不同带来的解算方式不同。算法1的观测量为星载GNSS数据，因此需要引入GNSS轨道、GNSS钟差及GNSS相位中心文件等外部产品，占用内存较多，且需判断周跳并估计相应的模糊度参数，而算法2的观测量则为离散的轨道点，无须上述外部产品及周跳探测等计算，待估参数也较少。

两类算法的主要相同点是对卫星摄动力的合理估计，因此算法1及算法2都是结合一定的观测值及卫星动力学信息，通过轨道积分外推来实现轨道预报。两类算法中主要待估计的动力学参数也都是大气阻力参数、太阳光压参数及周期性经验力参数。其中，周期性经验力摄动[16]可表示为

(3)

式中，p为各方向的周期性摄动；u为卫星纬度；C、S为各方向的周期性余弦项、正弦项摄动参数；下标表示径向(R)、切向(T)、法向(N)。

在上述主要待估动力学参数中，大气参数及光压参数有明确物理意义，而经验力参数是为吸收未被精确模型化的力，添加经验参数到解算方程中。周期性经验力考虑卫星运行的周期性特征，为充分吸收卫星力学模型误差，实际解算过程中常以卫星飞行周期作为分段周期。解算过程中添加过多的缺乏明确意义的经验力并不适合轨道预报，而为了获得更优的初轨及动力学参数，必须合理分段估计经验力。因此，本文通过设置与卫星周期相关的不同经验力分段策略，分析经验力分段周期对两种预报算法精度的影响。

2 LEO星下轨道预报精度分析

LEO卫星受轨道低、摄动力复杂等因素影响，难以保证长弧段轨道预报精度。因此，LEO导航增强系统在实际建设中更关注短弧段预报精度。因此，本文预报时长设置为5、10、15 min，以分析不同时长的预报精度。此外，考虑到LEO导航增强系统可能会在不同轨道高度布局卫星，因此测试卫星选择高度各不相同的GRACE-C卫星[17](简写为GRCC)、HY2A卫星[18]、SWARM-A卫星[19](简写为SWRA)、SWARM-B卫星(简写为SWRB)。2018年DOY 182—DOY 188内GRCC、HY2A、SWRA、SWRB卫星平均高度分别为503.41、976.93、445.43、510.49 km。其中，GRCC卫星的星载观测数据、精密轨道等由德国地学中心(GFZ)提供，HY2A卫星相关数据由武汉大学、美国地壳动力学数据信息系统(CDDIS)提供，SWRA、SWRB卫星相关数据由欧洲航天局(ESA)提供。在试验期2018年DOY 182—DOY 188中进行滑动时间轨道预报试验，即每1 h进行一次轨道预报，将预报轨道与事后发布的精密轨道对比，以评估轨道预报精度。GRCC、HY2A、SWRA、SWRB卫星平均飞行周期为1.57、1.73、1.55、1.58 h。因此，本文分别将经验力分段时长设置为1、2、3个的轨道周期，其余解算策略见表1，图1则描述了两种算法的预报过程。其中，算法1的观测量为星载GPS数据，算法2的观测量为算法1得到的精密轨道。

表1 LEO星下轨道定轨策略

LEO卫星在LEO导航增强系统中为用户播发PNT信息，因此除了R、T、N的轨道预报精度，卫星轨道在用户与卫星视线方向上的等效距离误差(user range error,URE)是同样十分重要的指标(不包含钟差)，因此本文选择评估R、T、N、URE预报精度。URE计算公式[20]为

(4)

式中，ΩR、ΩT、ΩN分别表示R、T、N这3个方向的轨道误差；wR、wT、wN为R、T、N这3个方向的轨道URE贡献因子。GRCC、HY2A、SWRA、SWRB卫星的URE贡献因子分别为0.46、0.63、0.63，0.58、0.58、0.58，0.44、0.64、0.64，0.46、0.63、0.63。

图1 星下轨道预报流程Fig.1 The process of LEO orbit prediction on ground

图2给出两种算法不同经验力分段策略下预报5 min时URE精度序列，表2则给出具体的URE统计值。对于GRCC、SWRA、SWRB卫星，较为稀疏(3个轨道周期时长)及密集(1个轨道周期时长)经验力分段时长下，轨道预报精度都不如2个轨道周期分段时长，而HY2A卫星则随着经验力分段时长的变长，轨道预报精度不断提升。如1.1节中提及，对于500 km左右轨道高度的LEO卫星来说，其受力仍较为复杂，经验力的过度施加不利于精密轨道预报，过于稀疏则无法获取更优的待估参数解，因此必须施加合适的经验力才能获取高精度轨道预报结果。而对于轨道高度近1000 km的HY2A卫星，其受力相对其他3颗LEO卫星较简单且量级较小，因此，合理减少经验力分段能够提高预报精度。表3中LEO各方向不同预报时长的精度统计中，GRCC、SWRA、SWRB卫星采用经验力分段时长为2个轨道周期策略的结果，HY2A卫星则采用的经验力分段时长为3个轨道周期的结果。

图2 不同经验力分段策略下LEO卫星预报5 min轨道预报精度Fig.2 LEO orbit prediction accuracy for 5 min under different empirical force segmentation strategies

表2 不同经验力分段策略下LEO轨道预报5 min精度统计

4颗LEO卫星轨道预报精度都随着预报弧长的增大而下降，如GRCC卫星算法1预报5、10、15 min的URE精度分别为5.25、5.67、6.26 cm，SWRB卫星算法1预报5、10、15 min的URE精度则分别8.49、8.98、9.63 cm。这主要是由于LEO卫星摄动力(尤其是大气阻力)复杂，短期内动力学参数也快速变化。因此对于注重服务精度的LEO导航增强系统来说，其轨道预报弧长建议应低于15 min。

表3对R、T、N这3个方向轨道预报精度进行统计，各卫星均T方向预报精度最差，且随着预报时长的增长，T方向相对R、N两方向预报精度也明显降低。这是由于LEO卫星轨道较低，影响T方向最大的大气阻力仍为制约轨道预报精度的主要因素。

表3 LEO星下轨道预报精度统计

对比两种轨道预报算法精度可知，算法1和算法2预报精度基本相当。算法1预报5、10、15 min的URE精度范围为5.25～8.87、5.67～9.21、6.26～9.68 cm，算法2则分别为5.24～8.88、5.66～9.23、6.24～9.64 cm。两种算法均可实现LEO卫星精密轨道预报，但两种算法在数据使用、计算方式、参数估计等方面有所不同，应根据实际应用背景选取合适算法。本文试验中，算法2所使用的LEO轨道来自于算法1使用星载GNSS数据定轨结果，但在LEO导航增强系统应用场景下，LEO轨道可通过使用LEO星间数据、LEO下行数据等解算方式获取。因此，算法2在使用多源数据获取LEO轨道的背景下可独立使用，而无须依赖算法1。

结合卫星轨道周期，本文预报了4颗卫星5、10、15 min轨道，实际是外推GRCC卫星约1/19、1/9、1/6个轨道周期，HY2A为1/21、1/10、1/7，SWRA为1/19、1/9、1/6，SWRB则为1/19、1/9、1/6。当评估预报相同轨道周期(1/10个)时，GRCC、HY2A、SWRA、SWRB卫星的轨道预报3D RMS精度分别为5.61、8.70、9.13、8.87 cm在本文试验期间，GRCC卫星由于数据质量较好且姿态稳定，其定轨精度(2.98 cm)高于HY2A(3.51 cm)、SWRA(5.44 cm)、SWRB(5.52 cm)。且两种预报算法都依赖精密定轨得到的初始轨道及动力学参数，因此评估相同弧段或相同轨道周期时，GRCC卫星预报精度也要优于其他3颗卫星。

3 LEO星上轨道预报精度分析

对于大规模LEO导航增强卫星星座而言，星上轨道预报可用于卫星轨道自主预报及星座碰撞预警等环节。LEO星上轨道预报受到星上资源及星载处理器计算能力限制[21]，而第2节中的两种算法需要多次迭代且数据量较大，都不适用于星上轨道预报。因此，本节利用单个轨道点及简单动力学模型的算法进行轨道预报。

表4给出了4颗卫星的主要摄动力的量级分析，其中统计值为各摄动力与地球中心引力的比值。分析可知，地球非球形引力在所列6项摄动力中量级最大，其余摄动力总和也仅占地球非球形摄动的1.86%(GRCC)、3.67%(HY2A)、2.45%(SWRA)、2.82%(SWRB)。因此，本文采用式(1)并简化动力学模型，不考虑N体摄动、大气阻力、太阳光压等摄动力，仅考虑地球中心引力及非球形摄动力，利用单个轨道点的位置速度直接进行轨道积分获取预报轨道。

表4 LEO卫星摄动力量级分析

地球非球形引力对外部一点的扰动可表示为[22]

(5)

由式(5)可知，LEO卫星所受的地球非球形引力与卫星轨道高度、引力位阶次关系密切。引力位阶次相对高，计算的地球非球形引力越准确。为获得高精度LEO预报轨道，理论上应选取较高的引力位阶次，但高阶非球形引力计算无疑也加大星载处理器计算负担。因此，本节分别选取10、30、60阶重力场分析预报精度和重力场阶数的关系。轨道积分器为KSG积分，积分器阶数、积分器步长均为10。试验所用的单个轨道点来自第2节算法1结果，其他试验日期、评估手段等与第2节一致。

图3为10、30、60阶地球重力场下4颗卫星星上轨道预报10 min时URE精度序列。表5给出各个策略下4颗卫星R、T、N、URE的详细精度统计值。

首先，分析星上预报时长与地球重力场阶数的关系。当预报5 min轨道时，使用10阶地球重力场预报GRCC、HY2A、SWRA、SWRB卫星的URE误差分别为0.47、0.18、0.54、0.45 m，精度仅能维持dm级别。当提升至30阶时，4颗卫星URE误差为0.07、0.04、0.09、0.07 m，精度可达cm级别。但重力场阶数提升至60阶时，5 min弧长预报精度提升幅度已相当有限。而预报10 min时，使用60阶相比30阶仍预报精度仍有较大提升(除HY2A卫星)，达到cm级预报精度。因此，星上轨道预报中地球重力场阶数选取必须合理考虑预报弧长和预报精度的关系，建议预报5 min内的短轨道至少选取30阶重力场，预报10 min及以上时可选取60阶重力场。值得注意的是，星上轨道预报采用算法1精密轨道弧段最末端，即预报弧段开始时刻的轨道点，对轨道积分外推的约束较强。因此本文的星上轨道预报试验结果精度较高。

其次，对比4颗卫星轨道预报精度，可以发现地球重力场阶数的不同对于不同轨道高度的LEO卫星轨道预报精度影响不同。GRCC、SWRA、SWRB卫星平均高度均在500 km左右，对于地球重力场摄动非常敏感，随着重力场阶数的提升，图3中(a)、(c)、(d)子图显示预报同一弧长的轨道精度也在提升。而对于高度在1000 km的HY2A卫星，使用30阶相比使用10阶有明显提升，但重力场增大至60阶的精度改善非常有限。因此，预报弧长为10 min时轨道高度1000 km的LEO卫星轨道预报使用30阶重力场即可。此结论和文献[23]中的自主定轨的重力场模型阶次选择非常贴近。

表5 LEO星上轨道预报精度统计

图3 不同重力场阶数下LEO卫星星上轨道预报精度Fig.3 The LEO orbit prediction accuracy on board with different Earth gravity field 's orders

4 结 论

本文针对LEO导航增强系统中LEO轨道预报，研究了不同任务需求下LEO卫星轨道预报算法，并利用GRCC、HY2A、SWRA、SWRB卫星数据进行了LEO星下及星上轨道预报试验，分析了各个算法的预报精度及适用条件。本文的研究结论主要包括两个方面。

(1) 对于LEO星下轨道预报，本文使用定轨预报同时处理及直接利用离散轨道点进行动力学拟合等两种算法，均可实现LEO卫星短弧段高精度轨道预报。算法1预报5、10、15 min的URE精度范围为5.25～8.87、5.67～9.21、6.26～9.68 cm，算法2则分别为5.24～8.88、5.66～9.23、6.24～9.64 cm。对于不同高度的LEO卫星来说，其受力量级及变化情况有所不同，需合理考虑经验力的分段。GRCC卫星预报5、10、15 min的URE平均精度分别为5.25、5.67、6.25 cm；HY2A卫星为7.83、8.69、9.66 cm；SWARM-A卫星为8.88、9.22、9.63 cm；SWARM-B卫星为8.49、8.98、9.63 cm。

(2) 对于LEO星上轨道预报，本文利用单个坐标点及简化后的力学模型进行轨道积分外推的算法。该算法实现简单，计算效率高，便于在计算条件有限的星上环境使用。地球重力场阶数对不同弧长的预报精度有重要影响，结果表明预报5 min内精密轨道应至少选取30阶重力场，预报10 min及以上时选取60阶重力场。此外，地球重力场对不同轨道高度的LEO卫星轨道预报精度的影响有所不同，对于高度在500 km的LEO卫星预报10 min轨道建议选择60阶，而高度近1000 km的LEO卫星使用30阶即可。

对于LEO导航增强系统中不同任务需求下LEO卫星轨道预报，必须合理考虑其具体实现条件及精度需求。本文针对星下、星上两种工作环境下提出不同的轨道算法，可为低轨导航增强系统建设提供相关参考。