圆的“切线”在中考

李孝英中教一级教师，1998年毕业于山东师范大学，1998年至今在山东省枣庄市第二中学从事数学教学工作， 枣庄市骨干教师，曾获得枣庄市优质课一等奖，师德标兵。

在历年各地的中考试卷中，有关圆的证明与计算型问题中，多数都涉及圆的切线，总结起来主要有以下几种题型.

题型1 直线与圆位置关系的判定

例1 已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA=3cm，OB=2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（）

（A）相离. （B）相交.

（C）相切.（D）相交或相切.

分析 根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断.

解 ⊙O的半径为2cm，线段

OA=3cm，OB=2cm，

即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半徑，

所以点A在⊙O外，点B在⊙O上，

所以直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，

故选（D）.

题型2 利用切线的性质进行计算或证明

例2 图1

如图1，在△ABC中，AB=6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E，G，点F是优弧GE上一点，∠CDE=18°，则∠GFE的度数是（）

（A）50°.（B）48°.

（C）45°.（D）36°.

分析 要求圆周角∠GFE，可先求圆心角∠GAE，可以连接AD， 这样∠GAE=∠GAD=∠DAE，而∠GAD可在Rt△BAD中求得，∠DAE可在等腰三角形ADE中求得.

图2

解 如图2，连接AD，因为BC与⊙A相切于点D，

所以AD⊥BC，

所以∠ADB=∠ADC=90°，

因为AB=6，

AG=AD=3，

所以AD=12AB，

所以∠B=30°，

所以∠GAD=60°，

因为∠CDE=18°，

所以∠ADE=90°-18°=72°，

因为AD=AE，

所以∠AED=∠ADE=72°，

所以∠DAE=180°-∠ADE-∠AED

=180°-72°-72°

=36°，

所以∠GAE=∠BAD+∠DAE

=60°+36°

=96°，

所以∠GFE=12∠GAE=12×96°=48°，

故选（B）.

题型3 利用添加辅助线来辅助证明圆的切线

例3 图3

如图3，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2=PA·PB.

（1）求证：PC是⊙O的切线;

（2）若AB=3PA，求ACBC的值.

分析 （1）已知条件PC2=PA·PB可转化为

PAPC=PCPB，

能说明△PAC∽△PCB，

再根据相似三角形的对应角相等以及直径所对的圆周角是直角证明过点C的半径OC⊥PC.

（2）由AB=3PA可得PB=4PA，OA=OC=1.5PA，根据勾股定理求出PC=2PA，根据相似三角形的性质即可得出ACBC的值.

图4

解 （1）如图4，连接OC.

因为PC2=PA·PB，

所以PAPC=PCPB，

因为∠P=∠P，

所以△PAC∽△PCB，

所以∠PCA=∠B，

因为∠ACB=90°，

所以∠CAB+∠B=90°，

因为OA=OC，

所以∠CAB=∠OCA，

所以∠PCA+∠OCA=90°，

所以OC⊥PC，

所以PC是⊙O的切线.

（2）因为AB=3PA，

所以PB=4PA，

OA=OC=1.5PA，

PO=2.5PA，

因为OC⊥PC，

所以PC=PO2-OC2=2PA，

因为△PAC∽△PCB，

所以ACBC=PCPB=2PA4PA=12.

题型4 切线的性质和判定的综合应用

例4 图5

如图5，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，点P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作BD∥OP，交⊙O于点D，连接PD.

（1）求证：PD是⊙O的切线;

（2）当四边形POBD是平行四边形时，求∠APO的度数.

分析 （1）要证PD是⊙O的切线，应证明OD⊥PD，而由已知得∠PAO=90°，可考虑证明△PAO≌△PDO.

（2）根据全等得出PA=PD，根据平行四边形的性质得出PD=OB，求出PA=OA，再求出答案即可.

图6

解 （1）如图6，连接OD，

因为PA切⊙O于点A，

所以PA⊥AB，

即∠PAO=90°，

因为OP∥BD，

所以∠DBO=∠AOP，

∠BDO=∠DOP，

因为OD=OB，

所以∠BDO=∠DBO，

所以∠DOP=∠AOP.

在△AOP和△DOP中，

AO=DO，∠AOP=∠DOP，PO=PO，

所以△AOP≌△DOP（SAS），

所以∠PDO=∠PAO，

因为∠PAO=90°，

所以∠PDO=90°，

即OD⊥PD，

所以PD是⊙O的切线;

图7

（2）由（1）知：

△AOP≌△DOP，

所以PA=PD.

因为四边形POBD是平行四边形，

所以PD=OB，

因为OB=OA，

所以PA=OA，

因为∠PAO=90°，

所以∠APO=∠AOP=45°.

上述几种题型答题的核心问题是：

1.切线的判定方法有三种：①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线;②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线;③经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

2.证明一条直线为圆的切线时，必须两个条件缺一不可：①过半径外端点;②垂直于这条半径.

3.常用辅助线的添加方法：①有切点连圆心，证垂直;②无切点作垂直，证相等.

4.利用切线的性质构造直角三角形，利用直角三角形的性质（勾股定理、三角函数等）进行计算.