从一题多解看中点的常见用法

杜会久石家庄市第四十中学数学学科一级教师，区骨干教师，所带的学生多次在希望杯、华杯赛中获奖，在各类国家级、省级刊物中发表多篇文章。

“中点”是初中阶段几何题目中非常常见的一个已知条件，它的用法比较多，也比较灵活，相关的基本图形也比较多.下面借助一道几何题目的多种解法来对中点的各种用法进行简单的介绍.

图1

例 如图1，已知AB=AC=BE，CD为△ABC中AB边上的中线，求证：CE=2CD.

1 倍长中线，构造中心对称的全等三角形

证法1

如图2，延长CD至点F，使DF=CD，连接AF，则

CF=2CD，图2

在△ADF和△BDC中，

AD=BD，∠ADF=∠BDC，CD=DF，

所以△ADF≌△BDC，

所以AF=BC，

∠FAD=∠CBD，

所以AF∥BC，

所以∠ FAC+∠ACB=180°，

因為AB=AC，

所以∠ ABC=∠ ACB，

又因为∠ ABC +∠CBE=180°，

所以∠ FAC=∠CBE，

又因为AF=BC，AC=BE，

所以△FAC≌△CBE，

所以CF=CE，

又因为CF=2CD，

所以CE=2CD.

图3

证法2 如图3，延长CD至点F，使DF=CD，连接BF，则

CF=2CD，

在△ADC和△BDF中，

AD=BD，∠ADC=∠BDF，CD=DF，

所以△ADC≌△BDF，

所以BF=AC=BE，

∠CAD=∠FBD，

所以BF∥AC，

所以∠ FBC+∠ ACB=180°，

因为AB=AC，

所以∠ ABC=∠ACB，

又因为∠ ABC+∠EBC=180°，

所以∠ FBC=∠EBC，

又因为BF=BE，BC=BC，

所以△FBC≌△EBC，

所以CF=CE，

又因为CF=2CD，

所以CE=2CD.

2 倍长已知线段得第二个中点，构造中位线

证法3 图4

如图4，延长AC至点F，使CF=AC，连接BF，则

AF=2AC=2AB，

因为AB= BE，

所以AF=AE，

在△ABF和△ACE中，

AB=AC，∠A=∠A，AF=AE，

所以△ABF≌△ACE，

所以BF=CE，

因为AD=DB，CF=AC，

所以BF=2CD，

所以CE=2CD.

（本证法中也可以借助△BCF≌△CBE来证明BF=CE）

图5

证法4 如图5，延长BC至点F，使CF=BC，连接AF，

因为AD=DB，

CF=BC，

所以AF=2CD，

因为AB=AC，

所以∠ABC=∠ACB，

所以∠EBC=∠ACF，

在△EBC和△ACF中，

BE=AC，∠EBC=∠ACF，BC=CF，

所以△EBC≌△ACF，

所以CE=AF，

又因为AF=2CD，

所以CE=2CD.

3 取第二个中点，构造中位线

证法5 图6

如图6，取CE的中点F，连接BF，

因为AB=BE，

CF=FE，

所以BF=12AC=12AB，

又因为BD=12AB，

所以BF=BD，

因为AB=AC，

所以∠ABC=∠ACB，

因为AB=BE，CF=FE，

所以BF∥AC，

所以∠CBF=∠ACB，

所以∠CBF=∠ABC，

在△CBF和△CBD中，

BF=BD，∠CBF=∠ABC，BC=BC，

所以△CBF≌△CBD，

所以CF=CD，

又因为CE=2CF，

所以CE=2CD.

图7

证法6 如图7，取AC的中点F，连接BF，

因为AB=BE，

AF=FC，

所以BF=12CE，

因为AB=AC，

所以∠ABC=∠ACB，

因为BD=12AB，

CF=12AC，

所以BD=CF，

在△DBC和△FCB中，

BD=CF，∠ABC=∠ACB，BC=CB，

所以△DBC≌△FCB，

所以CD=BF，

又因为BF=12CE，

所以CE=2CD.

4.过已知中点作平行线，构造平行线等分线段定理的基本图形

证法7 如图4，过点B作BF∥DC交AC的延长线于点F，

因为AD=DB，BF∥DC，

所以AC=CF，

所以AF=2AC=2AB=AE，

在△ABF和△ACE中，

AB=AC，∠A=∠A，AF=AE，

所以△ABF≌△ACE，

所以BF=CE，

因为AD=DB，CF=AC，

所以BF=2CD，

所以CE=2CD.