巧用非负性解题

刘继征山东省高级教师。从事初中数学教学和数学奥林匹克竞赛辅导教学工作。多次获得山东省数学竞赛委员会颁发的优秀指导教师奖。在国内各种报刊上发表论文多篇。

实数中，实数a的绝对值︱a︱≥0、实数a的偶次方（a）2n≥0（其中n为正整数）、以及二次根式a≥0（其中a≥0）.利用实数的这种非负数性质解题，可起到化繁为简，快捷求解的目的，现举例加以說明.

1 利用二次根式的非负性解题

例1 若1x-2+5-x有意义，则x的取值范围是.

分析 已知的代数式有意义，两个被开方数x-2和5-x应都不小于0，但是x-2又充当分母，故x-2还须不等于0，只能大于0.这样，可组成关于x的不等式组x-2>0，5-x≥0，求解该不等式组即可.

解 由题意，得

x-2>0，5-x≥0，

解得2

即为所求的x的取值范围.

2 利用绝对值和二次根式的非负数性解题

例2 已知实数p满足︱3-p︱+p-4=p，则p+14=.

分析 先利用二次根式求得p的取值范围，再脱去绝对值符号，根据已知方程求得p的值，最后就可求得该二次根式的值了.

解 因为p-4≥0，

所以p≥4.

这样原方程可变形为

p-3+p-4=p，

即p-4=3，

所以p-4=32，

则p=4+9=13，

所以p+14=27=33.

例3 已知;实数x，y满足︱x+y+6︱+y2-4y+4=0，求代数式xy的值.

分析 由于︱x+y+6︱和y2-4y+4都是非负数，且其和为0，两者都须是零，列出关于x，y的方程组，求解即可.

解 由题意，得

︱x+y+6︱≥0，和y2-4y+4≥0，

且两者的和为0.

所以x+y+6=0，y2-4y+4=0，

解得x=-8，y=2.

因此xy=（-8）2=64.

3 利用完全平方数和二次根式的非负性解题

例4 已知实数x，y满足23x+5y+2+（5x-y-6）2=0，求代数式x2021+y2022+（x+y）2023的值.

分析 利用二次根式和实数的偶次方均为非负数，可知

23x+5y+2≥0，

（5x-y-6）2≥0，

且其和为0，得出关于x、y的方程组，再求解该方程组即可.

解 由题意，知

23x+5y+2≥0，

（5x-y-6）2≥0，

且其和为0，

所以有3x+5y+2=0，5x-y-6=0，

解得x=1，y=-1，

则x+y=0.

因此x2021+y2022（x+y）2023

=12021+（-1）2022+02023=2.

注 这里构造出关于x，y的方程组是解题的关键.

4 利用二次根式的被开方数和二次根式的双重非负性解题

例5 已知实数x，y和m满足

5x+4y-4-a+4x+3y+a

=x-4048+y-4048-x-y，

求a的值.

分析 根据等式右边的二次根式，可得出x+y的值，变形原方程，并得出a与x+y的关系，求出a的值.

解 根据题意，得

x-4048+y≥0，

4048-x-y≥0，

所以x+y=4048.

这样，原等式可变形为

5x+4y-4-a+4x+3y+a=0，

而5x+4y-4-a≥0，

4x+3y+a≥0，

且其和等于0，

所以有 5x+4y-4-a=0，4x+3y+a=0，①②

由①-②得

x+y-4-2a=0，

即4048-4-2a=0，

解得a=2022.

注 代入法及整体求解的数学思想方法是快捷求解本题的关键.