代数几何综合的动点问题探究

左清明

代数与几何的综合问题是各地中考的热点，下面举例介绍此类问题的解题思路.

考题再现

例 （2021·辽宁·大连）如图1，在矩形ABCD中，BC = 4 cm，CD = 3 cm，P，Q两动点同时从点B出发，点P沿BC—CD以1 cm/s的速度向终点D匀速运动，点Q沿BA—AC以2 cm/s的速度向终点C匀速运动．

设点P的运动时间为t（s），△BPQ 的面积为S（cm2）．

（1）求AC的长；

（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围.

考点剖析

（1）知识点：函数关系式、勾股定理、矩形的性质．

（2）思想方法：数形结合、分类讨论.

学情分析

解题思路：（1）根据勾股定理直接计算AC的长；

（2）根据点P，Q的运动位置进行分类，分别画图表示相应的△BPQ的面积即可．

解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠B = 90°，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：

AC = [AB2+BC2] = [32+42] = 5（cm），

∴AC的长为5 cm.

（2）①当0 < t ≤ 1.5时，如图2，

S = [12×BP×BQ] = [12×t×2t] = t2.

②當1.5 < t ≤ 4时，CQ = 8 - 2t，如图3，作QH⊥BC于H，

方法1：

∵sin∠BCA = [ABAC] = [QHCQ]，∴[35] = [QH8-2t]，

∴QH = [245] - [6t5]，

∴S = [12] BP·QH = [12] [×] t [×] [245 - 6t5] = -[35] t2 + [125] t；

方法2：

∵∠QHP = ∠ABC = 90°，∴QH[?]AB，∴△QHC ∽ △ABC，

∴[ABAC] = [QHCQ]， ∴[35] = [QH8-2t]，

∴QH = [245] - [6t5]，

∴S = [12·BP·QH] = [12×t×245-6t5] = -[35t2] + [125t].

③当4 < t ≤ 7时，如图4，

CP = t - 4，BQ = BC = 4，

∴S = [12·BC·CP] = [12×4×t-4] = 2t - 8，

综上所述，S = [t20

勤于积累

动点问题解题步骤如下：

（1）模拟运动状态，找出分界点，列出每种情况下自变量的取值范围；

（2）画出每种情况下的一般示意图，求出重要线段长，列出函数关系式；

（3）综合结论.

（作者单位：大连市第八十中学）