根与系数关系运用的五个技巧

张宁

如果一元二次方程[ax2+bx+c=0（a≠0）]有两个实数根为[x1]，[x2]，则有[x1+x2=-ba]，[x1?x2=ca]. 这就是一元二次方程根与系数的关系（又叫韦达定理）. 在运用根与系数的关系解决问题时，常常要运用一些技巧，现举例说明.

一、灵活选择两根之和与积

例1 （2021·湖南·长沙）若关于x的方程x2 - kx - 12 = 0的一个根为3，则k的值為 ．

分析：根据一元二次方程根与系数的关系得到x1x2 =  - 12，结合x1 = 3可求出x2，再利用两根之和即可求出k的值．

解：∵x1x2 =  - 12，x1 = 3，∴x2 =  - 4.

又∵x1 + x2 = k，∴k = 3 + （ - 4） =  - 1．

故填 - 1.

点评：要根据题目的具体情况选择两根之和或两根之积的关系式，本题若选两根之和的关系式，得到x1 + x2 = k，则求k就困难了.当然，本题也可以将x = 3代入方程，得9 - 3k - 12 = 0，即可求出k．

二、借助配方转化为两根之和与积

例2 （2021·四川·泸州）关于x的一元二次方程x2 + 2mx + m2 - m = 0的两实数根x1，x2，满足x1x2 = 2，则（[x21] + 2）（[x22] + 2）的值是（）.

A. 8    B. 16        C.  32      D. 16或40

分析：先求出m = 2或m = -1，再将m的值分别代入一元二次方程中，然后利用完全平方公式将待求值式进行配方变形，最后根据一元二次方程根与系数的关系代入计算即可．

解：根据一元二次方程根与系数的关系得到x1x2 = m2 - m，由x1x2 = 2，

可知m2 - m = 2，解得m = 2或m = -1.

当m = 2时，原一元二次方程为x2 + 4x + 2 = 0，∴x1 + x2 =  - 4，∴（x[21] + 2）·（x[22] + 2） = （x1x2）2 + 2（x1 + x2）2 - 4x1x2 + 4 = 22 + 2 × （-4）2 - 4 × 2 + 4 = 32；当m = -1时，原一元二次方程为x2 - 2x + 2 = 0，∴Δ = （-2）2 - 4 × 1 × 2 = -4 < 0，原方程无解，m = -1不符合题意. 故选C.

点评：解决本题要灵活运用完全平方公式进行配方，将x12 +  x22转化为（x1 +  x2）2 - 2x1x2．

三、通过降次转化为两根之和与积

例3 （2021·湖北·武汉）已知a，b是方程x2 - 3x - 5 = 0的两根，则代数式2a3 - 6a2 + b2 + 7b + 1的值是（）.

A. - 25 B.  - 24 C. 35 D. 36

分析：根据一元二次方程根的定义得到a2 - 3a - 5 = 0，b2 - 3b - 5 = 0，即a2 - 3a = 5，b2 = 3b + 5，代入待求值式后使其降次，转化为含a + b的代数式，再根据根与系数的关系得到a + b = 3，整体代入变形后的代数式即可求解．

解：∵a，b是方程x2 - 3x - 5 = 0的两根，∴a2 - 3a - 5 = 0，b2 - 3b - 5 = 0，a + b = 3，∴a2 - 3a = 5，b2 = 3b + 5.

∴2a3 - 6a2 + b2 + 7b + 1 = 2a（a2 - 3a） + 3b + 5 + 7b + 1 = 10a + 10b + 6 = 10（a + b） + 6 = 10 × 3 + 6 = 36. 故选D．

点评：解与一元二次方程根相关的高次代数式求值问题，一般思路是利用方程根的定义将待求值式降次，转化为两根和与两根积的形式，再用根与系数的关系来求值.

四、通过数式转换转化为两根之和与积

例4 （2021·四川·南充）已知方程x2 - 2021x + 1 = 0的两根分别为x1，x2，则x12[ - 2021x2]的值为（）.

A. 1 B. - 1 C. 2021 D. - 2021

分析：由题意得出x1 + x2 = 2021，x12 - 2021x1 + 1 = 0，x22 - 2021x2 + 1 = 0，从而有[-1x2=] x2 - 2021，进而将待求值式中的分式化为整式，变形后再代入求解即可．

解：∵方程x2 - 2021x + 1 = 0的两根分别为x1，x2，∴x1 + x2 = 2021，x12 - 2021x1 + 1 = 0，x22 - 2021x2 + 1 = 0，∴x12 = 2021x1 - 1.

∵x2 ≠ 0，∴x2 - 2021 [+ 1x2 =] 0，∴[- 1x2 =] x2 - 2021.

∴[-2021x2= 2021x2-20212].

∴x12 [- 2021x2=] 2021x1 - 1 - 2021x2 - 20212 = 2021（x1 + x2） - 1 - 20212 = 20212 - 1 - 20212 =  - 1. 故选B.

点评：借助于一元二次方程根的概念，将分式转化为整式，即可利用根与系数的关系来求解.

五、展开分组转化为两根之和与积

例5 （2022·四川·南充）已知关于x的一元二次方程x2 + 3x + k - 2 = 0有实数根.

（1）求实数k的取值范围；

（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1 + 1）（x2 + 1） = - 1，求k的值.

分析：（1）由一元二次方程有实数根，有Δ ≥ 0，得到关于k的一元一次不等式，求出k的取值范围即可；（2）将（x1 + 1）（x2 + 1）展开后分组，得到含x1 + x2和x1x2的代数式，再将x1 + x2 = -3，x1x2 = k - 2代入，得到关于k的方程，求出符合题意的k的值即可.

解：（1）∵该一元二次方程有实数根，

∴Δ = 32 - 4（k - 2） ≥ 0，解得k ≤ [174].

（2）∵（x1 + 1）（x2 + 1）= -1，∴（x1 + x2） + x1x2 + 2 = 0.

∵x1 + x2 = - 3，x1x2 = k - 2，∴-3 + k - 2 + 2 = 0，解得k = 3.

∵3 < [174]，∴k = 3符合题意，即k的值为3.

点评：一元二次方程有实数根，分有两个不等实数根和两个相等实数根两种情况，此时对应的根的判别式Δ ≥ 0，不能遗漏取等号的情况.一元二次方程根与系数的关系使用的前提是方程有实数根，因此（2）中求出k的值后，要检验是否在（1）的范围中，正确进行取舍.

（作者单位： 广东省珠海市横琴新区第一中学）