分离常数法

李雨

【摘要】 在求解一些较为复杂的分式或“反比例型函数”等数学问题时，常运用下面的变形技巧：ax+bcx+d=ac（cx+d）-adc+bcx+d=ac+b-adccx+d（c≠0，d≠0），这一变形技巧我们称为“分离常数法”.利用“分离常数法”可以将分式问题或“反比例型函数”问题轉化，从而较容易地解决问题.

【关键词】 应用;分离常数;解题

下面举例说明“分离常数法”在几个方面的巧妙应用.

1 探索数的条件

例1 已知在等式ax+bcx+d=s中，a，b，c，d都是有理数，x是无理数，解答：

（1）当a，b，c，d满足什么条件时，s是有理数;

（2）当a，b，c，d满足什么条件时，s是无理数.

解 （1）当a=c=0，d≠0时，s=bd是有理数.

当c≠0时，由分离常数法得s=ax+bcx+d=ac+b-adccx+d，其中ac是有理数，cx+d是无理数，b-adc是有理数.

要使s是有理数，只有b-adc=0，即bc=ad.

综上可知，当a=c=0且d≠0或c≠0，且bc=ad时，s是有理数.

（2）当c=0，d≠0且a≠0时，s是无理数.

当c≠0时，由分离常数法得s=ax+bcx+d=ac+b-adccx+d，其中ac是有理数，cx+d是无理数，b-adc是有理数.

要使s是无理数，只有b-adc≠0，

即bc≠ad.

综上可知，当c=0，a≠0，d≠0或c≠0，bc≠ad时，s是无理数.

注 本题在分离常数的基础上，分析、讨论s是有理数或无理数的条件，非常巧妙、有新意.

2 求解分式方程

例2 解方程：

x+2x+x+6x+4=x+3x+1+x+5x+3.

解 由x+2x+x+6x+4=x+3x+1+x+5x+3，得

x+2x+（x+4）+2x+4=（x+1）+2x+1+（x+3）+2x+3，

所以1+2x+1+2x+4=1+2x+1+1+2x+3，

所以2x+2x+4=2x+1+2x+3.

化简、移项，得

1x-1x+3=1x+1-1x+4，

所以1x（x+3）=1（x+1）（x+4），

所以x（x+3）=（x+1）（x+4），

即x2+3x=x2+5x+4，

所以2x=-4，

解得x=-2.

经检验，可知x=-2是原方程的根.

注 本题首先利用“分离常数法”将方程的各项分离常数，然后将分式方程转化为整式方程求解.对于解分式方程，一定要有“检验”的步骤，以免方程产生增根或失根.

3 作“反比例型函数”的图象

例3 作出函数y=3x+1x-1的图象.

解 将函数y=3x-1x-1“分离常数”，得

y=2x-1+3.

由函数图象的变换可知，函数y=3x-1x-1的图象可以由反比例函数y=2x的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到.

图

如图1，在平面直角坐标系xOy中，先作出y=2x的图象，然后将y=2x的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，即可得到y=2x-1+3的图象.

注 本题先将函数y=3x-1x-1的解析式“分离常数”，然后运用了平移变换由反比例函数y=2x的图象平移得到函数y=3x-1x-1的图象的.对于形如y=ax+bcx+d（c≠0，d≠0）的“反比例型函数”的图象，都可以运用这一途径来得到.

4 研究“反比例型函数”的性质

例4 分别求函数y=2 022x-1x+2自变量和函数值的取值范围.

解 若函数y=2 022x-1x+2有意义，则

x+2≠0，

所以x≠-2.

故函数y=2 022x-1x+2自变量的取值范围为x≠-2.

将函数式“分离常数”，得

y=2 022x-1x+2=2 022（x+2）-4 045x+2

=2 022-4 045x+2.

因为x≠-2，

所以-4 045x+2≠0，

所以y≠2 022.

所以函数y=2 022x-1x+2函数值的取值范围为

y≠2 022.

注 本题在求函数值的取值范围时，先将函数式“分离”，然后分析求解.对于形如y=cx+dax+b（a≠0，b≠0）的函数求函数值的取值范围问题常利用“分离常数法”.