数学建模核心素养教学初探
2022-05-30文思静
文思静
【摘 要】 为了提升高中生的数学建模核心素养，笔者以《单变量利益最大化问题》为例来阐述如何在教学中引导学生“用数学的眼光观察世界，用数学的语言表达世界，用数学的思维思考世界.”本课例中基于“养猪卖猪”的实际背景，建立含参二次函数的经济增长模型，着重点在于建立模型、求解模型、确定参数和检验模型等环节，目的是使学生在建模过程中理解参数的意义，并为新课程和新教材的理解及使用提供参考建议.
【关键词】 数学建模;含参二次函数;核心素养
《普通高中数学课程标准（2017年版）》（下简称《新课标》）指出：“数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.”为了提升高中生的数学建模核心素养，笔者以《单变量利益最大化问题》为例来阐述如何在教学中引导学生“用数学的眼光观察世界，用数学的语言表达世界，用数学的思维思考世界.”
1 内容解析
《新课标》提出高中所涉及的“数学模型分为经济模型和社会模型，其中经济模型分为存款贷款模型、投入产出模型、经济增长模型、凯恩斯模型和生产函数模型;社会模型分为等级评价模型、人口增长模型和信度评价模型.”本课例的《单变量利益最大化问题》属于经济增长模型，需要的模型为二次函数模型.从初中开始学习，再到高中《必修一》的再次巩固，高中生对于二次函数已有较多的了解.本课例不仅要求学生从实际问题出发建立数学模型，还需进一步加深对参数的认识.
2 目标解析
2.1 教学目标
从实际问题出发，思考如何实现养猪到卖猪利润最大化.感受发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题的数学建模过程.在建模过程中理解参数的意义，感悟数学语言表达对数学建模的重要性.
2.2 教学重难点
教学重点：根据数学建模的步骤解决实际问题，理解参数在模型中的意义.
教学难点：理解参数的意义并对模型进行求解并检验.
3 教学过程
3.1 发现问题、提出问题
由于市场不稳定导致猪肉价格不断变化，养猪的农场主面临着一个严峻的问题：如何养猪卖猪才能获得更大的利润？根据实际情况数据的调查，提出的问题如下：
问题情境1 一头刚断奶的小猪重15千克，小猪的料肉比为1.5：1，即吃1.5千克饲料增重1千克，每千克饲料费用为0.5元.但体重超过100千克的猪销量会下降，体重每超过1千克售出单价下降0.3元，猪的市场价格为每千克35元.求获得最大利润时猪的售出体重.（结果保留整数）
设计意图：在实际情况中，养猪和卖猪的影响因素复杂得多，但为了突出研究对象，则需控制变量，即饲养猪的主要成本：饲料成本.由于影响售猪价格的因素很多，此处只考虑猪的体重对售价的影响.在实际市场中，体重过重的猪销量反而不好，不仅饲养成本过高，肉质也不鲜美，因此会影響售价.
3.2 分析问题、建立模型
数学建模第二步需要分析问题，并用合适的数学符号和数学语言来描述问题对象的内在规律，从而建立包含变量和常量的数学模型.
问题1 本问题情境中需要研究的量有哪些？
回答1 猪的体重、饲料的重量、饲料的成本、猪的价格、猪的售价、利润.
根据学生的回答，引导学生用合适的数学符号来表示要研究的量.
变量：
x=猪增加的重量（千克），m=消耗饲料的重量（千克），w=猪的重量（千克），
p=猪的价格（元/千克），C=饲养成本（元），R=售出猪的收益（元），P=净收益（元）.
问题2 根据情境，请找出变量之间的关系，注意区分变量和常量.
回答2 利用假设的变量可得：
x≥0，m=1.5x，p= 35，0≤x≤8535-0.3 w-100 ，x>85， w=15+x，C=0.5w，R=p·w，P=R-C.
问题3 进一步思考本例要解决什么问题？目标是什么？
回答3 解决利润最大时卖猪的体重.
问题4 转化为数学语言即当P最大时， x+15 的值.请根据变量之间的相关关系，尝试用x表示P.
大部分同学都能用分段函数的形式将利润P表示出来.即
P（x）= 34.25x+525，0≤x≤85-0.3x 2+55.25x+907.5，x>85.
设计意图 学生在数学建模时的难点在于理解题意，将现实问题转化为数学问题，并用数学符号语言表示.因此在教学过程中要引导学生区分常量和变量，并用合理的字母表示变量，虽然刚开始表示出来的变量很多，但仔细分析变量间的关系会发现本题是一个单变量问题，售猪的利润P可以用增加的体重x表示，进而去解决二次函数求最值的问题.
3.3 确定参数、求解模型
通过分类讨论，当0≤x≤85时，P最大值为3436.25元，当x>85时，学生们得到x≈92时，P取得最大值为3451.3元，即售猪的最佳体重为107千克.
在实际养猪问题中，有些数据比其他数据可靠性高很多，比如生猪现在的重量、现在的价格、每公斤饲料的成本都很容易测量，而且有相当大的确定性.但猪的料肉比会随着体重的增加而增大，而且价格的下降率则确定性更低，因此对于确定性很低的数据可以引入参数a. 记a为价格的下降率（元/千克），a的实际值是不同的，从而导致最佳售猪体重也会发生改变.
问题情境2 一头刚断奶的小猪重15千克，小猪的料肉比为1.5：1，即吃1.5千克饲料增重1千克，每千克饲料费用为0.5元.但体重超过100千克的猪销量会下降，体重每超过1千克售出单价下降a元，猪的市场价格为每千克35元.求获得最大利润时猪的售出体重.（结果保留整数）
问题5 试用含a（a>0）的式子解决售猪的最佳体重问题.
回答5 类比情境一，同样可以进行分类讨论.
P x = 34.25x+525，0≤x≤85-ax 2+（34.25+70a）x+525+1275a，x>85，
学生容易得到当0≤x≤85时，P max =34.25×85+525=3436.25，但在解决x>85时的最大利润遇到了问题.
问题6 当x>85时，考虑二次函数的对称轴x=- 34.25+70a -2a = 17.125 a +35的x的值是否一定大于85？若上式大于85，利润最大时的体重如何表示？
回答6 因为对称轴x的值不一定大于85，所以需要分类讨论.
当x>85时，分两种情况讨论.
①当 17.125 a +35<85时，即a>0.3425.由题可得，P x 在 85，+∞ 上单调递减.
P<-a 2· 85 2+ 34.25+70a ×85+525+1275a=-7225a 2+7225a+3436.25，
令f a =-7725a 2+7225a+3436.25，
i.当f a ≥3436.25时，a∈ 0.3425，1 ，此时P max =-7725a 2+7225a+3436.25，最佳售猪体重为85+15=100千克;
ii.当f a <3436.25时，a∈ 1，+∞ ，此时P max =3436.25，最佳售猪体重为85+15=100千克;
因此，售猪的最佳体重为85+15=100千克.
②当 17.125 a +35≥85时，即0 由题可得，P=2500a+1723.75+ 293.27 a ， 当a=0.3425时，有最小值P≈3436.25，即P≥3436.25. 因此售猪的最佳体重为 17.125 a +35+15= 17.125 a +50 千克. 综上，当a>0.3425时，售猪的最佳体重为100千克;当0 设计意图 学生在刚开始学函数的时候，遇到含参的函数问题不知从何下手，根本原因在于对参数的理解不透彻.因此从养猪这个实际问题出发，学生可以很好地理解售价的下降率a（元/千克）确实会影响最佳售猪体重，但对于自变量——猪增加的体重x来说，售价下降率a相当于一个常量.而在分析实际问题时，需要对参数a进行分类讨论. 3.4 檢验结果、解释模型 在数学运算和数学抽象的基础上，我们得到售猪最佳体重的理想模型：当a>0.3425时，售猪的最佳体重为100千克;当0 4 教学反思 笔者在研究性学习课堂中实践过该课例，反思教学设计与课堂实施过程的点滴，对新课程和新教材的理解及使用有以下几点思考： 4.1 数学建模样例的教学应在有限时间里突出重点环节 《新课标》指出，“数学建模活动”应以课题研究的形式开展，即从观察实际情境到提出问题，最后得到实际问题的解需要学生全程参与.但实际课堂只有40分钟，这意味着只能选择性地让学生体验其中某几个环节，否则就像走马观花一样.教材中“探究茶水水温的变化规律”突出的是提出问题， 收集数据，建立模型等环节，省略了确定参数和检验模型的环节.而本课例的着重点在于建立模型、求解模型、确定参数和检验模型等环节，没有让学生自行搜索售猪相关的材料，如目前的猪肉价格，料肉比，养猪卖猪的关键体重等等，简化了提出问题，收集数据的环节.因此教师在进行数学建模样例教学可以根据教学目标调整重心，让学生深入体验个别环节，效果更佳. 4.2 数学建模中引导学生确定参数及理解参数的现实意义 高中含参的函数问题一直都是学生的难点，根本原因在于对参数的理解不透彻.引入参数的实际意义就是将实际问题中的其他不稳定的相关因素从一个常量变为一个变量a，当a为特定的某些值时，问题情境将会呈现一定的规律，此时需要对a进行分类讨论从而归纳规律.例如本课的售猪问题，当市场的售价价格下降率a小于0.3425时，想赚更多的钱，则卖出猪的最佳为体重 17.125 a +50 千克，并不是越重越好.如此一来，学生对参数a的理解能够更加深刻，即一开始将参数a看做常量，当其取值影响结果时需考虑对a进行分类讨论，并且最后的结果有时也需用a来表示. 4.3 努力改善数学建模活动中的不足 在调研中发现学生对生活中的实际情境，如饭堂如何打饭更节省时间，双十一如何购物更优惠等等都有浓厚的求知欲，说明学生希望学习如何用“数学联系实际，数学优化生活”.因此在时间允许的前提下，带领学生了解并经历了各环节后，可以让他们通过分组、合作学习等形式自主完成选题、开题、做题、结题等环节，到时候必能惊叹学生的创造力. 【基金项目：本论文参与“广州市教育科学规划2020年度课题《核心素养导向的中学数学“优效课堂”的案例研究》（202012502）.】 参考文献： [1] 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]人民教育出版社.2017：5. [2] 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]人民教育出版社.2017：65.
