探究高中函数概念深度学习内涵及教学策略

姚亚南

摘 要：在新课程改革如火如荼推进的今天，教师的教育理念也正在进行着革新，越来越关注数学知识的深度学习。函数是高中数学最重要的主线之一。以深度学习理论为指导，总结深度学习内涵，分析学生学习现状，以“函数的概念”一课时为例，进行深度学习的教学设计，并形成函数概念深度学习的教学策略。

关键词：函数概念;深度学习;教学策略

2014年新高考改革启动以来，各省份积极响应，改革稳步进行，同时，数学新教材也投入使用，这一变革使得一线教师的教育理念也随之发生变化。长期以来的应试教育体制使数学教育中的教与学过分注重解题的技巧和方法，忽视了数学的基本概念，导致学生对数学概念的学习往往流于表面，无法掌握其内在含义。随着新教材的改革，这种形式已经不能适应时代的发展，对一些新的出题方式、新高考改革中的新题型无从下手，因此需要将深度学习理论融入课堂。数学深度学习理论是深度学习理论与数学学科特点相结合的成果，能够让学生对数学概念的学习由浅入深，以表层的数学知识符号为媒介实现对数学概念本質的理解与掌握。

德国数学家克莱因提出：函数概念应该成为数学教育的灵魂。以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它周围，充分地综合。函数作为贯穿整个高中数学课程的主线，在数学概念教学中有着重要的地位，因此，如何促进高中函数概念的深度学习，成为新时代背景下应该探究的问题。笔者结合高中一线教学经验，通过总结现阶段学生学习的现状，并针对这些问题，以人教版新教材第一册第三章第一课时“函数的概念”为例，浅谈促进高中函数概念深度学习的几点教学建议。

一、学生学习现状分析

笔者在工作期间对某实验中学的高一学生进行观察，同时向多名教师请教，并结合以往的教学经验，发现学生在学习函数概念这一部分知识时主要存在以下两方面的问题。

（一）先入为主，接受新知困难

首先，由于初中函数的概念是“变量说”，即直接针对两个变量x、y的一种对应关系，较为直观和具象，学生对此种概念已经较为熟悉，应用起来也得心应手，受先入为主思想的限制，对高中“对应说”这一函数概念引入的必要性认识不足，对函数概念“对应说”定义接受起来存在困难。

其次，对“为什么要重新定义函数概念”心存疑惑。学生在预习知识的时候会产生疑虑：我们在初中已经学习过函数的概念了，为什么又要重新学习？并对新的概念产生疑惑，认为没有重新学习的必要。

最后，受畏难情绪的影响，认为函数部分的知识复杂难学，对函数的学习有或多或少的恐惧，对新的概念有排斥心理。

（二）抽象思维尚未形成，归纳总结困难

高中函数概念较为抽象，需要学生有一定的数学抽象能力。在学习时，需要学生通过具体的实例抽象和归纳得出函数概念，这要求学生通过自己的努力进行探索，对能力要求较高。高一刚入学的学生，抽象思维尚未形成，他们在尝试通过“观察、分析、比较、归纳、概括”得出概念时，其中任何一个环节出现问题都可能得不到函数的概念。另外，初中生对函数的理解仅停留在一些具体函数的层面上，更准确地说是局限于对函数具体解析式的理解，重计算、重例题，对抽象的函数符号理解有一定的困难。

二、“函数的概念”深度学习教学设计

（一）巧设情境——复杂问题生活化

让学生在具体的生活情境中形成数学深度学习的理念，感悟数学本质。例如，在函数概念第一课时教学时，可以利用学生已经具备的函数知识创设问题情境，以旧引新，将复杂的函数问题以生活中的具体实例进行呈现，激发学生的求知欲，以学生为主体，调动其学习积极性，再辅以教师的引领和启发，带领学生讨论交流，实现知识的内化、形成与迁移，从而在这个基础上说明初中函数概念的局限性和学习新定义的必要性。如在教学时，可以以教材为基础，同时渗透深度学习理论，设置以下几个问题情境引入函数概念。

问题情境一：复习回顾旧知，深度参与课堂情境

教师：同学们知道函数吗？你们都学习过哪些函数？

学生1：我学习过一次函数、二次函数。

学生2：我还学习过反比例函数。

教师：很好。那么，谁能说出函数的概念呢？

学生3：对于两个变量x、y，每一个x都有y与之对应。

学生4：应该加上“唯一”，即每一个x都有唯一确定的y与之对应。

教师：两位同学的说法都有不严谨的地方。在初中，函数的定义是指，一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。

设计意图：通过对初中旧知的复习唤醒函数记忆，可以让学生产生熟悉感，从而将自己代入课堂情境之中，深度参与课堂的各个环节，为下一步深入学习做铺垫。

问题情境二：创设生活实例，深度感悟函数概念

教师：今早老师开车上班的时候，在前10分钟是以60km/h匀速行驶的，那么在这段时间内，老师行驶的路程s（单位：km）和时间t（单位：h）的关系可以用函数来表示吗？

学生5：可以，s=60t.

教师：那有的同学就问了，根据对应关系，如果行驶1小时，就前进了60km，大家认为这种说法对吗？对刚才的定义，有没有同学可以补充？

学生6：我认为在时间上应该进行限制，因为只说了前10分钟是以60km/h匀速行驶的。

教师：没错，我们无法判定10分钟后的行驶情况，也就是说单单通过函数解析式描述函数是不准确的，还要注意到自变量t的范围。请同学们讨论研究，用更精确的语言描述刚刚的问题。

设计意图：此问题是将教材中“复兴号”高速列车问题替换为更贴近生活的具体实例，将复杂的问题生活化，从而使学生更有代入感。同时，经过教师一系列的引导和学生的讨论交流，学生发现单靠初中学习的知识已经不能精确刻画函数，从而形成了认知冲突，激发了进一步学习的兴趣。此时教师进一步引导学生用更精确的集合语言来刻画函数中变量的范围，让学生意识到变量范围对函数的重要性，层层深入，为下一步利用集合语言刻画函数奠定基础。

问题情境三：巧升问题难度，深度体会函数要素

教师：大学期间，老师曾勤工俭学，在一家便利店工作，每周至少工作1天，至多不超过5天，工资一周一结，工资标准统一是每人每天60元，那么老师的工资ω（单位：元）是我工作天数d的函数吗？

学生7：是，ω=60d.其中，d∈{1，2，3，4，5}。

教师：那ω的范围是固定的吗？请大家一起给出。

学生：ω∈{60，120，180，240，300}。

教师：看来同学们已经学会用集合的语言来刻画函数了，我们发现对于工作天数d对应集合中的任一个天数，按照对应函数式，在ω对应的集合中都有唯一确定的一个工资与它对应。

教师：请同学们观察前两个问题的函数解析式，它们是相同的对应关系，你觉得它们是同一个函数吗？为什么？是什么影响了它？

设计意图：同样将教材中的工厂问题近似替换，在上一个问题的基础上进行升级，将函数模型替换成离散型函数，让学生进一步感受影响函数的几个要素，为函数的三要素进行铺垫，为下一步区别是否为同一函数的问题奠定基础。

问题情境四：引入函数图象，深度探索函数表示

教师：下图是空气质量指数变化图，如何根据该图确定这一天内任意时刻t（单位：h）的空气质量指数的值I？你认为这里的I是t的函数吗？

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学生8：可以从图象上获得I的值，I是t的函数。

教师：非常正确，那么同学们能用集合的语言描述一下两个变量的范围吗？

学生9：t满足集合{t|0≤t≤24}，I满足集合{I|0

教师：我们可以看到，对于t满足集合的任意一个时刻，按照图中曲线的对应关系，在I满足的集合中都有唯一确定的一个值与之对应，因此I是t的函数。

设计意图：通过教材中的实例，将函数的表示用图象来呈现，引导学生明确不是所有的函数都有准确的函数解析式，函数的对应关系同样可以用图象来表示。通过一步步的引领，让学生在学习过程中深度探索函数的表示方法，感悟抽象符号在函数概念中的重要性。

问题情境五：进阶函数表示，深度总结表示方法

教师：以下表格是恩格尔系数的变化情况，你认为恩格尔系数r是年份y的函数吗？

学生10：恩格尔系数r是年份y的函数。

教师：那么请同学们按照前几个问题那样，用集合的语言刻画这个函数。

设计意图：此处引入了另一种函数的表示方法，引导学生明确表示函数不仅可以用解析式、图象，还可以利用表格来呈现。教师进一步引导学生总结上述所有问题的表示方法，让所有学生都参与到课堂环节中。

（二）总结特征——抽象概念具体化

在上述几个问题情境的创设中，学生已经初步掌握了刻画函数的几个要素，此时需要乘胜追击，引领学生共同总结函数特征，使抽象的函数概念走向具体化。针对这一部分设计如下几个问题。

问题1：总结共同特征，深度形成函数概念

教师：请同学们进行小组讨论，总结上述四个问题所表示函数的共同特征。

学生11：它们的变量范围都是两个非空数集。

学生12：它们都有一个对应关系。

学生13：对于其中一个集合中的任意一个数，在另一个集合中都有唯一确定的值与之对应。

教师：同学们说的都很好。为了更直观地表示，我们将两个非空数集用A、B来表示，将对应关系引进符号f来表示。同学们能进一步给出函数的概念吗？

设计意图：教师进一步整理特征，引导学生用集合的语言来概括函数的一般概念。由学生自己来总结概括出函数概念，教师对细节加以修正，而不是直接给出，更有利于学生感悟概念的形成过程，从过程中体会数学概念形成所要經历的阶段，从而深入理解概念，进行深度学习。

问题2：自主创设情境，深度理解函数概念

教师：函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它反映的是两个变量的对应关系，可以广泛地应用于刻画一类事物中的变量关系和规律。试创设一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y=x（10-x）来表示。

学生14：可以用来表示周长为20的长方形的面积。

教师：是否还缺少函数的要素呢？

学生15：长方形的一边长是x，面积为y，即y=x（10-x），其中x的取值范围是A={x|0

教师：是否还可以表示其他的情境呢？请同学们下课进行思考，并以小组的方式进行呈现。

设计意图：理解函数本质是一种数学模型，让学生自主通过函数解析式来创设情境，培养其逆向思维，学生既要学会从具体的生活事例中抽象出数学模型，又要能够将数学模型还原到具体的情境中，这样不仅能够培养其数学抽象的核心素养，而且可以深度学习函数概念，形成数学建模的能力。

三、函数概念深度学习教学策略

（一）关注概念的形成过程，在具体情境中形成深度学习理念

深度学习不仅是一种学习方式，更是一种学习过程。它更强调学生对知识的形成与迁移，因此在教学中应当注意引领学生关注函数概念的形成过程，并且有意识地将他们引入具体情境当中，层层递进，引发具体思索，在情境中感悟，激发学习兴趣。在教学时利用好新旧知识间的联系，学生在初中阶段已经掌握了函数的概念，那么在介绍高中函数概念之前，让学生进行回忆，再通过引导让学生发现旧知识已经无法解决情境中的问题，引发学生的认知冲突，可以大大激发学生的好奇心，引发自主探索，由此才能让学生认识到学习新概念的必要性，改变对原有概念的认识，对新概念的理解更深入。

（二）引入生活化场景，在实际运用中激发深度学习兴趣

函数概念放在课本上非常抽象，但是拿到具体生活中则活灵活现。在之前的教学中，总有学生对为什么学习数学产生疑问，认为它对自己的生活毫无帮助，从而失去了学习兴趣。其实，数学知识最能运用到生活实践当中，教师要善于发现，并利用生活化的场景抽象出数学问题，在实际运用中提升学生的学习兴趣，而非让学生认为学习概念只是单纯地为了解数学题，在生活中无用。不仅如此，将函数概念问题生活化可以将复杂的、抽象的函数更为直观地表示出来，例如，在讲解指数函数时，可以利用其“爆炸性”增长的特质，引入生活中的指数函数模型，如经典的国王与阿基米德下棋的故事，可以更直观地让学生感受指数函数，从而进行深度学习。

（三）自主探究式学习，在合作探讨中形成深度学习能力

所谓的深度学习，就是指在教师引领下，学生围绕具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程。在这一过程中，学生的团结协作能力显得尤为重要，一个人的想法具有局限性，而通过合作探究就可以把视角打开，集思广益，可以大大提升学习效率，不仅有利于培养数学核心素养，更有助于形成深度学习的能力。

参考文献：

[1]何玲，黎加厚.促进学生深度学习[J].现代教学，2005（5）：29-30.

[2]钟一鸣.基于数学核心素养的深度学习策略研究：以函数的概念为例[J].豫章师范学院学报，2020，35（1）：65-69.