关于新人教版“光的干涉”中的两点讨论

2022-05-30施音

中学教学参考·理科版 2022年5期

施音

[摘要]在高中阶段，对于“光的干涉”的教学，由于受到数学技能的限制，教师只能通过平面几何和一定的近似处理来说明。新人教版高中物理选择性必修一在编写“光的干涉”理论分析时有两处容易使学生产生误解。文章通过简单的数学分析加以辨析说明，希望能对学生的学习提供帮助。

[关键词]光的干涉;双缝干涉;光程差;双曲线

[中图分类号] G633.7 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2022）14-0045-03

在高中阶段，光的干涉现象是带领学生初步认识光的本性（即波粒二象性）的重要知识点之一。干涉是波独有的特征，在两列或几列波相互叠加的区域，出现某些区域始终振动加强，某些区域始终振动减弱，空间形成稳定的强弱分布规律。在双缝干涉实验中，光透过双缝在屏上显示出稳定的明暗相间的条纹，即光的干涉现象，也就证明了光具有波动性。

一、提出问题

新人教版高中物理选择性必修一在“光的干涉”一节中解释干涉条纹和光的波长之间的关系时（如图1），利用光程差[r2-r1]近似等于[dxl]，得出当两列波的光程差为波长整数倍，即[dxl=nλ] [（n=±0， 1， 2， 3，…）]时，出现亮条纹。亮条纹中心的位置为[x=nλld]，相邻两条亮条纹或暗条纹的中心间距为[Δx=λld]。

这样的编写容易使学生产生两点误解：（1）判定出现亮条纹的条件[dxl=nλ] [（n=±0， 1， 2， 3，…）]中[n]的取值范围是整数集;（2）相邻两条亮条纹或暗条纹的中心间距为[Δx=λld]，由[λ、l、]d决定，都与亮条纹的位置[x]无关，即条纹是等间距分布的。

二、分析说明

既然光程差[δ=r1-r2]决定了振动由双缝[S1]，[S2]传到空间某点[P1]叠加后的结果，[△S1 S2 P1]必须满足两边之差小于第三边的原理;另一方面屏上第[n]级亮条纹，即为[S1]，[S2]到该处光程差为波长的[n]倍，也就是同级亮条纹应当出现在以[S1]，[S2]为焦点的双曲线上，因此可以根据双曲线方程来计算光屏上的条纹间距。以下为详细说明。

双缝干涉是利用单缝输入光波的波阵面在双缝处分成两列子波，形成相干光源，在叠加区域出现干涉现象，这种产生相干光源的方法称为分波阵面法。若单缝[S0]到两双缝[S1]，[S2]的距离相等，则分出的两列子波初相位相同，由双缝到叠加区域固定点间的光程差决定相位差。（如图2）

设在[S1]，[S2]处两列子波的振动方程为[y=Asinωt+φ]，波速为[v]，空间[P]点到双缝[S1]，[S2]的距离分别为[r1]，[r2]，则两列子波在空间[P]点引起的振动方程分别为[y1=Asinωt-r1v+φ]，[y2=Asinωt-r2v+φ]，[P]点实际的振动满足两列子波在[P]点引起振动的矢量叠加原理。在[P]点便出现频率相同、初相位不同的振动叠加。在频率相同的情况下，两个振动的相位差是恒定的，即能够形成稳定的干涉图样。当它们的相位差满足[π]偶数倍时，[P]点合振幅最大;当相位差满足[π]奇数倍时，[P]点合振幅最小。从光程差的角度来说就是：

[δ=r1-r2=nλ（n=0， 1， 2， 3，…）]时，[P]点振动加强为明条纹中心;

[δ=r1-r2=（2n+1）λ2（n=0， 1， 2， 3，…）]时，[P]点振动减弱为暗条纹中心。

从上述分析可以看出，明暗条纹的出现是由于光程差等于半波长的偶数倍或者奇数倍，而我们通常说的第[n]级明条纹就是指双缝到该点光程差是波长的[n]倍。因此，同级亮条纹应当出现在以双缝为焦点的双曲线的半支。

设双缝[S1]、[S2]间距为[d]，亮纹所在的双曲线族标准方程为[4y2nλ2-4x2d2-nλ2=1]（n=1，2，3，…），

亮条纹所在的双曲线族渐近线方程为[y=±nλd2-nλ2x]（[n]=1，2，3，…）

亮条纹级数越高，对应渐近线斜率越大。（如图3）

（一）误区一：[n]取值为自然数集

在[△S1S2P]中[r1-r2

亮条纹级数[n]的取值是范围在[0，dλ]的自然数。

（二）误区二：与双缝平行的屏上，条纹等间距分布

设离双缝距离为[l]处有一与双缝平行放置的光屏，若满足[d?l]，则屏上显示的条纹间距可以近似由双曲线渐近线方程求得：

[Δy=n+1λd2-n+1λ2l-nλd2-nλ2l]（如图4）

（关于图4的说明：光屏和雙缝的距离一般是双缝间距103倍，此处只是示意图，用于说明同级亮条纹所在的双曲线，在到达光屏时已经很接近渐近线，因此可以由双曲线的渐近线方程计算条纹间距。）

当亮条纹级数较低时，由于双缝间距[d]和光波波长λ相差103倍，忽略高阶无穷小项，可近似求得[Δy=n+1λdl-nλdl=λld]，即条纹等间距分布。

当亮条纹级数接近最大级时，条纹间距不相等。

三、应用

[例1]在双缝干涉实验中，用绿色激光照射在双缝上，在缝后的屏幕上显示出干涉图样。若要增大干涉图样中两相邻亮条纹的间距，可选用的方法是（）。

A. 改用红色激光

B. 改用蓝色激光

C. 减小双缝间距

D. 将屏幕向远离双缝的位置移动

E. 将光源向远离双缝的位置移动

F. 将光源略偏向双缝中的某一条移动

解析：在亮条纹级数不太大的情况下，我们可以用条纹间距[Δx=λld]来判断。要使条纹间距变大，可以通过增大波长[λ]、减小双缝间距[d]、增大光屏和双缝距离[l]来实现。即A，C，D正确，B错误。

使光源远离双缝，并不改变亮条纹的双曲线族标准方程（[2a=nλ，2c=d]），光屏到双缝的距离不变，即由渐近线方程计算得到的条纹间距也不变。E错误。

使光源略偏向双缝中的某一条（如图5），设光源[S0]到双缝[S1]，[S2]的距离之差為[δ0=S0S2-S0S1]，显然0级亮条纹将不在双缝中垂线上，而是略向下移动。仍然以[S1]，[S2]为双曲线焦点，则亮条纹的双曲线方程族应修正为（[2a=nλ±δ0]（P点出现在双缝中垂线下方为“+”，上方为“-”），[2c=d]），通过渐近线方程求得屏上条纹间距为[Δy=n+1λ±δ0d2-n+1λ±δ02l-nλ±δ0d2-nλ±δ02l]（双缝中垂线下方为“+”，上方为“-”）。同样在条纹级数不大的情况下，条纹间距可以近似等于[Δy=n+1λ±δ0dl-nλ±δ0dl=λld]，即条纹间距不变。F错误。

答案：ACD

四、反思

我们在日常教学中强调对明暗条纹的判断，而忽略了对条纹定级的解释。其实对条纹级数的理解能够在解决诸如条纹的移动、条纹间距变化等动态问题上提供很大的方便，便于学生理解。

在薄膜干涉问题中，入射光在透明薄膜上下两表面的反射光在空间相遇产生干涉现象，其光程差近似等于薄膜厚度的两倍（如图6）。

相邻两级亮条纹之间的薄膜厚度差为[Δd=λ2]，条纹间距为[Δy=Δdsin θ=λ2sin θ]。薄膜厚度均匀增加，即[θ]不变，则AB面上观察到的条纹将等间距分布，且BC端对应条纹的最高级（如图7）。

若增加BC端的厚度，即[θ]变大，则条纹级数增大，可以观察到条纹间距变小，条纹向劈尖移动。

若观察到的条纹间距不相等，则说明薄膜厚度变化不均匀。

[例2]（2021年高考山东卷第7题）用平行单色光垂直照射一层透明薄膜，观察到如图8所示明暗相间的干涉条纹。下列关于该区域薄膜厚度[d]随坐标[x]的变化图像，可能正确的是（）。

解析：可以理解为条纹间距变大，说明条纹级数随距离变化变缓（如图9）。

答案选D。

[ 参考文献 ]

[1] 马文蔚.物理学教程[M].北京：高等教育出版社，2009.