谈学生数学基本活动经验的积累

宋亚和

[摘 要]学习不是简单的信息积累，而是新旧知识经验相互碰撞后又重新组合的认知过程。数学活动经验需要在操作与思考的过程中积淀、在活动中逐步积累。通过操作、探究、建模和运用等活动平台，缔结“手脑联盟”，可帮助学生积累活动经验。

[关键词]数学活动;经验;操作

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2022）14-0082-03

活动经验是学生进行理性思维不可或缺的基础。杜威说过，教育就是继续不断地重组经验。可见经验之于教育的重要性。数学活动经验需要在操作与思考的过程中积淀、在活动中逐步积累。那么，如何让学生在经历数学实践活动的过程中积累经验呢？

一、动手操作，直观感知，积累操作经验

行为操作经验的获得，往往要借助双手来实现，而行为操作是进行抽象的直接素材。小学生的思维是从以具体形象思维为主逐步过渡到以抽象逻辑思维为主的形式，但这种抽象逻辑思维在很大程度上是直接与感性经验相联系的，具有很大成分的具体形象性。直观的感知活动是学生思维活动的窗户，是学生认识事物本质的开端。借助于行为操作，将抽象的数学概念形象化，可化难为易，增强学生的动手实践能力，让学生在动手的过程中不断积累行为操作经验。

以特级教师刘德武执教的“最小公倍数”的活动课教学为例。

一只猴子的身体和尾巴分别在一个正六边形和一个正四边形上（邊长相等，并平靠在一起），让学生猜正四边形沿着正六边形的边转动几次，猴子的尾巴和身体就又能重新接上。学生异口同声猜为6次。随即教师转动正四边形，当数到6时，学生发现不对。学生改猜为12次，关于它的对与错，教师未给出判断。接着，教师给每组成员发一套学具——两个正多边形拼成的动物图片。学生利用“转”“数”的方式研究的同时，回答两个问题：（1）需要转动多少次，这些动物的尾巴和身体又能够重新接上呢？（含它们各转了多少圈）（2）研究这个问题的过程与我们学过的哪些知识有密切的联系？

学生汇报：狮子的图案（狮身为正九边形，狮尾为正六边形）需要转动18次;白马的图案（马身为正八边形，马尾为正六边形）需要转动24次;乌龟的图案（龟身为正五边形，龟尾为正四边形）需要转动10次（此答案有误）。于是教师立刻增加了两个小组来转动乌龟图案，实践后验证了乌龟图案其实需要转动20次。随后，教师将狮子、白马图案互换，引导学生观察转动的次数与图案有关，还是与图形有关。再研究转动的次数与正多边形的边数有什么关系，以及各转动了多少圈。学生回答后教师板书：（9，6）=18，18÷9=2，18÷6=3 ……（狮子）;（8，6）=24，24÷8=3 ，24÷6=4……（白马）;（5，4）=20，20÷5=4，20÷4=5……（乌龟）。最后，再次出示一只猴子的身体与尾巴的图案（猴身为正四边形，猴尾为正三角形），让学生说一说需要转动的次数。学生异口同声：“ 12次。”在教师的追问下，学生总结出了规律：转动的次数就是两个正多边形边数的最小公倍数。

“智慧自动作发端。”学生的学习最初往往是从“动作”开始的。因为他们认识事物带有具体性和直观形象性，特别需要先从“感知窗户”里得到一定的感性认识，作为升华到理性认知的诱因和基础。上述刘德武教师设计的“最小公倍数”活动，把抽象的数学知识的学习寓于好玩有趣的实践操作之中——动物的尾巴转动多少次才能和身体接上。让学生经历了“猜一猜、转一转、数一数、说一说”等数学实践活动，多种感官的协同参与，使学生获得丰富的活动经验。试想，学生如果没有经过亲自实践、主动体验，也没有直观感知，还能获得这样的行为操作经验吗？

二、深入探究，形成表象，积累探究经验

探究经验是指围绕已有问题的解决展开的数学活动而获得的经验，既有外显的行为层面（双手）的操作活动，也有内隐的思维层面（大脑）的操作活动。探究的价值不仅在于获取第一手的直接感受、体验和经验，它的价值还是获取问题解决的策略：先通过有限的操作，形成比较清晰的表象，然后总结方法、规律，最后达到了不需要依赖操作（运用大脑思考）就能直接解决问题。

例如，教学平移和旋转内容时，笔者于课中组织三个层面的操作活动。一是研究平移了多少。利用动画显示房子图的平移运动，让学生说平移了多少。当学生无法表述时，笔者添上网格，再让学生观察房子图平移了几格。学生有说4格，有说6格，随后，笔者让学生拿出剪好的房子图套在网格上平移。学生验证完毕后，一致认为房子图向右平移了6格。二是研究平移的方法。笔者提问：“你是怎么一眼就看出房子图向右平移了6格的呢？”学生想出了找对应点的方法。笔者与学生一起边移边数，动画出现1格，2格……6格的情形。学生在操作中明白了图形平移的两个要素——方向与距离，并尝试运用数对应点的方法来数金鱼图、火箭图各向什么方向平移了几格。三是图形的平移操作。让学生平移“试一试”中的平行四边形。展示多种利用对应点平移的方法，交流点评并进行优化，最终归纳总结平移的方法与注意点。

让学生通过操作探究来学习图形的平移知识，符合小学生好奇、好动和好胜的年龄特点。学生通过一系列的探究活动，获得了图形平移的表象：整个图形的各个对应点都向同一个方向平移，移动的格子数也全都相同。动手操作作为一种“痕迹”，一种“感性映像”，既是学生思维的中介，也是形象思维的基本元素，它在直观和抽象之间搭起了桥梁，有效地支撑起学生的思维，让学生在以后的活动中不再需要依赖动手就能得到解决总问题的方法。

三、构建模型，积累思维的活动经验

数学思维的经验，可以是直接的经验，也可以是间接的经验。“数学是思维的体操”，学生学会思考是数学教学的重要目标。在思维活动中，学生的经验生成是在思维层面发生的，教师可以从现实生活或者具体的情境中抽象出数学问题，逐步建立模型，进而把握数学的本质，帮助学生积累思维的活动经验。

例如，教学“加法结合律”时，笔者出示情境图（图略），图中有28个男生和17个女生在跳绳，有23个女生在踢毽子，参加活动的一共有多少人？

师：怎么列式？

生1：28+17+23。

师：这个算式要先算跳绳的有多少人，怎么办？

生2：添上括号，（28+17）+23。

师：那要先算女生有多少人，怎么办？

生3：28+（17+23）。

师（板书）：（28+17）+23=28+（17+23）。

师：请算一算下面这些算式，○里能填“=”吗？

（45+25）+13○45+（25+13）

（36+18）+22○36+（18+22）

（按“观察、猜想、举例、验证、得出结论”的顺序，学生小组合作学习）

师：这三个等式，左边先把哪两个数相加？右边呢？

（学生猜想：三个数相加，可能有什么规律）

师（提示）：在作业纸上举例算一算，比一比。

（学生得出结论，分组汇报）

生4：三个数相加，可以先把前两个数相加，也可以先把后两个数相加，结果不变。

师：你们觉得用文字表述怎样？

生（齐）：麻烦！

师：可以怎样表述得更加简洁一些？

生5：（甲+乙）+丙=甲+（乙+丙）。

生6：（a+b）+c=a+（b+c）。

師：请大家观察（a+b）+c=a+（b+c），什么变了？什么没变？

生（齐）：运算顺序变了，和没变，加数也没变。

师：大家总结得很好，这样的运算规律就是加法结合律。

没有思维活动便不能把握事物的本质，也无法积累思维经验。“数学模型”具有简约、有效的描述事物本质的特点，契合着思维活动经验。课程标准指出，数学教学应该“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”。上述教学借助于体育活动的情境引出加法结合律的知识，让学生动手计算，动眼观察，动脑思维，经历了分析、比较、猜想、验证、判断、归纳概括等一系列数学思维活动，建立起数学模型，即将加法结合律简约地表述成（a+b）+c=a+（b+c）。当学生不再需要借助任何直观材料，脱离行为操作时，便能站在理性的层面对事物的本质属性与规律进行深刻把握，积累数学思维的活动经验。

四、综合运用，体悟策略，积累复合的活动经验

复合的经验是综合运用数学知识进行问题解决（包括发现问题、提出问题、分析问题和解决问题等）的经验。课程标准指出：“初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。”在教学中，教师要让学生亲身经历发现问题、提出问题以及分析问题、解决问题的全过程，学习、运用相关的解题策略，他们才能体会策略的实际价值，获得直接经验，发展创新意识，从而不断地积累复合的数学活动经验。

例如，教学“解决问题的策略”时，笔者向学生出示例题。

全班42人去公园划船，一共租用了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租用的大船和小船各有几只？

师：请同学们先在组内讨论如何解决这道题。

生1：我是通过画图来想的。（如图1）假设全部都是坐大船，就画10只大船，每只船坐5人，一共坐50人，比实际的42人多了8人，就要从50人中画掉8人。因为一只船要画掉2人，所以一共要在4只船上画掉人数。即小船租4只，大船租6只。

师：关于他的思考过程，你们有什么不明白的地方吗？

生2：为什么每只船只画掉2人？

生1：因为每只大船比每只小船多坐2人，当从一只大船上画掉2人，还剩下3人时，这只大船就变成小船了。

师：是啊，用假设法解决这个问题，我们不仅要会把小船看成大船，还要会根据多出的8人以及每只大船比每只小船多坐2人的情况，再把大船换回小船。还有不同的想法吗？

生3：我假设全部都是租小船，和生1的计算结果一样。

生4：我用列举法，从中很容易就可以看出大船租6只，小船租4只。

生5：我假设大船和小船各租一半，并列表表示（如表1）。

师：那么与42人相比又有什么不同呢？（补充表格，如表2）

师：接下来如何进行调整呢？

生5：现在还有2人没有座位，说明要增加大船的只数并减少小船的只数（如表3）。

教师重视引导学生体会策略应用的价值，增强学生的策略意识，鼓励学生运用策略、内化策略，实现经验的改造和重组。在上述教学中，教师放手让学生动脑、动笔自主探索，让学生的思维得到真正的磨砺。当遇到困难时，学生能自觉地与同伴合作，沟通与分享真实的、丰富的思维过程，最终收获喜人的思维成果——灵活运用画图和列表策略。学生综合运用数学知识解决问题，有着不同的策略和思维过程。通过画出直观的示意图进行假设替换、进行数据的有序列举、列表调整数据等，让学生在自主建构过程中，积累了较为丰富的分析问题和解决问题的数学活动经验，并成为进一步学习的活性资源。

陶行知说过：“中国教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。”教师通过丰富多彩的数学实践活动，引导学生积极主动地参与数学活动，在且“玩”且“思”中缔结“手脑联盟”，将“玩”“思”结合，让学生体验数学活动的每一个环节，促进他们从“经历”走向“经验”，并能在一次次的活动过程中积累数学活动经验，催开“经验之花”。这样有助于学生形成比较完整的数学认知结构，发展应用意识和创新意识，提升数学素养，逐步实现数学学习的目标，对后继的学习产生积极的影响。

（责编 覃小慧）