例析相似三角形中的几类开放性问题

夏宇

开放性問题是相对于条件和结论明确的封闭问题而言的，它的条件和问题变化不定，或条件隐蔽，或结论不一，或需要自行设计条件或问题来求解.开放性问题不仅可以较好地锻炼同学们分析问题、解决问题的能力，而且还可以培养同学们的发散思维能力和创新探索能力.现列举几例与相似三角形有关的开放性问题，希望对同学们解题有所帮助和启发.

类型一 条件开放性问题

条件开放性问题是指所给问题中结论明确，但题干中的信息不完整，条件不完备，需要自行添加条件，补全完整题设条件才能解题的一种题型.解答条件开放性问题的一般思路是：由已知的结论逆向思考题目应具备怎样的条件，再结合图形结构、隐含的条件进行分析，逐步探求.

例1

分析：

解：

评注：本题是一道条件开放性试题，所给问题结论ΔAED与ΔABC相似，需要补充完备使ΔAED～ΔABC的条件，答案不唯一，有利于同学们发散思维，找出符合条件的答案.由于只要找一个条件进行证明，相对来说降低了解题的难度.

类型二 结论开放性问题

结论开放性问题是指命题只给出了明确的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性.这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后作出论证.

例2 如图2，已知点C在线段BD上，在BD的同侧作正ΔCDE、正ΔABC，AC交BE 于F，AD交CE于G，连接FG，在这个图形中，不再标注其它字母和添加任何辅助线，由这些条件可推出哪些结论？

分析：如图2，根据题意结合图形，可以发现图中隐含着相似或全等三角形，即可解答问题.

解：

评注：该题以等边三角形为载体，以全等三角形、相似三角形、平行线的判定等几何知识点的考查为核心，构造了一道开放性命题.结论开放题通常是结论不确定或不惟一，解题时，需根据题意去探求确定结论是否成立或会有哪些结论.

类型三 条件结论双开放性问题

条件、结论双开放性问题是指条件和结论都不唯一.此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有开放性.因此，同学们在解题时，必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断.

例3

评注：本题中的问题（2）是一道条件结论双开放性问题，无固定答案，可以提出多种问题和结论，可谓构思精巧，颇有创意.

总之，与相似三角形有关的开放性问题综合性强，其求解方法自由开放、灵活多样，并不局限于一种形式.因此，同学们在解题时要注意发散思维，多方位地探索求解之道，从而激活数学思维潜能，培养思维的广阔性和创造性.