数形结合 破解中考题

董忠慈

考题再现

例1 （2020·辽宁·大连）如图1，△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，BE = CE，点G在线段CD上，CG = CA，GF = DE，∠AFG = ∠CDE.

（1）填空：与∠CAG相等的角是 ;

（2）用等式表示线段AD与BD的数量关系，并证明;

（3）若∠BAC = 90°，∠ABC = 2∠ACD（如图2），求[ACAB]的值.

考点剖析

本文仅就第（3）问进行探究.

1. 知识点：等腰三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、二倍角应用.

2. 思想方法：几何直观、运算能力、构造法.

3. 基本图形：

（1）如图3，在△ABC中，条件：AB = AC，∠A = α，AB的垂直平分线MN交AC于点D. 结论：∠DBC = 90° - 1.5α.

（2）如图4，在等边三角形ABC中，条件：点D在AC上，点E在BC上，AD = CE，AE与BD交于点H，连接CH，若CH⊥BD. 结论：BH = 2AH.

学情分析

思路1：如图5， 延长BA至点M，使AM = AD，连接CM，证明△BCM为等腰三角形，得到BC = 4a，AB = 3a，利用勾股定理求出AC，即可得到结论.

解法1：如图5，延长BA至点M，使AM = AD，连接CM，

∵∠BAC = ∠MAC = 90°，

∴AC垂直平分DM，

∴CD = CM，

∴∠ACD = ∠ACM.

设∠ACD = α = ∠ACM，则∠ABC = 2α，∠AMC = 90° - α，

∴∠BCM = 180° - 2α - （90° - α） = 90° - α，

∴BM = BC，即△BCM为等腰三角形.

设AD = a，则AM = a，BD = 2a，

∴BC = BM = 4a，AB = 3a，

∴AC = [BC2-AB2] = [7]a，

∴[ACAB] = [7a3a] = [73].

思路2：如圖6，作AN[?]DE，连接EN，证明平行四边形ANED是平行四边形，从而证明△BDE ∽ △NAD，在直角三角形ACD中利用AN = DN，求出CD，最后利用勾股定理得到结论.

解法2：略

勤于积累

思路1要运用“二倍角”解题策略，利用几何直观找到思路，进而利用运算得到图形的特点，最后依靠逻辑推理得出结论.

思路2另辟蹊径，构造平行四边形，利用第二问的思路深入研究，进而利用几何直观、逻辑推理得出结论.

拓展变形

例2 如图7，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90°，点D在AC上，点E在BA的延长线上，且CD = AE，过点A作AF⊥CE，垂足为F，过点D作BC的平行线，交AB于点G，交FA的延长线于点H.

（1）在图中找出与CE相等的线段，并证明;

（2）若GH = kDH，求[AHAF]的值（用含k的代数式表示）.

解析：（1）与CE相等的线段是AH.

证明：如图 8，在AC上截取AM = AE，连接EM，

易证∠AGH = ∠CME = 135°，AG = CM，∠BAH =∠ACE，∴△AGH ≌ △CME，∴AH = CE.

（2）如图9，连接 BH.

易证△ABH ≌ △CAE，∴BH = AE，∠ABH = ∠CAE = ∠BAC = 90°.

∴BH[?]AC，∵HD[?]BC，∴四边形BCDH是平行四边形，∴DH = BC.

易证△ABH ∽ △AFE，∴[AHAE=ABAF]，

设AB = AC = a，则BC = [2a].

∴GH = [k]DH = [2ka]，∴BH = ka.

∴AH = [a2+k2a2]，[AF=AB?AEAH=ka2a2+k2a2]，

∴[AHAF=k2+1k].

（辽宁省沈阳市皇姑区教育研究中心）