一道中考题的启示

李中华 马佳琳

考题再现

例1 （2020·辽宁·大连）如图1，△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，BE = CE，点G在线段CD上，CG = CA，GF = DE，∠AFG = ∠CDE.

（1）填空：与∠CAG相等的角是 ;

（2）用等式表示线段AD与BD的数量关系，并证明;

（3）若∠BAC = 90°，∠ABC = 2∠ACD（如图2），求[ACAB]的值.

考点剖析

本文仅就第（2）问进行探究.

1. 知识点：全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理.

2. 思想方法：几何直观、构造法、转化法.

3. 基本图形：

（1） 如图3，在△ABC中，条件：D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点.

结论：DE = [12]BC.

（2）如图4，在四边形ABCD中，条件：O为AB中点，且DO[?]CB，点P，Q分别在AD，DO上，PQ = OC，BC = AP  + OQ.

结论：AD = QD.

学情分析

思路1：如图5，在CG上取点M，使GM = AF，连接AM，EM，证明△AGM ≌ △GAF，得到AM = GF，∠AFG = ∠AMG，从而证明四边形AMED为平行四边形，得到AD = EM，AD[?]EM，最后利用中位线定理得到结论.

解法1：AD = [12]BD，理由是：

如图5，在CG上取点M，使GM = AF，连接AM，EM，

∵∠CAG = ∠CGA，AG = GA，

∴△AGM ≌ △GAF（SAS），

∴AM = GF，∠AFG = ∠AMG.

∵GF = DE，∠AFG = ∠CDE，

∴AM = DE，∠AMG = ∠CDE，

∴AM[?]DE，∴四边形AMED为平行四边形，

∴AD = EM，AD[?]EM，

∵BE = CE，即点E为BC中点.

∴点M为DC中点，

∴ME为△BCD的中位线，

∴ME = [12]BD，

即AD = [12]BD.

思路2：如图6，在CD上取点N，使DN = AF，取CD中点M，连接EM，EN，证明△END ≌ △GAF，得到EN = GA，∠END = ∠GAF，从而证明△ADG ≌ △EMN，得到AD = EM，AD[?]EM，最后利用中位线定理得到结论.

解法2：如图6，在CD上取点N，使DN = AF，取CD中点M，连接EM，EN.

∵AF = DN，∠AFG = ∠NDE，DE = GF，

∴△END ≌ △GAF，

∴EN = GA，∠END = ∠GAF = ∠AGC，

∴∠AGD = ∠ENM，

∵點E，M分别为BA，CD的中点，

∴EM为△CBD的中位线，

∴EM = [12]BD，EM∥BD，

∴∠ADG = ∠EMN，

∴△ADG ≌ △EMN，

∴AD = EM = [12]BD.

即AD = [12BD].

勤于积累

本问是一道三角形综合证明题，考查同学们的几何直观能力和推理能力等核心素养.思路1的关键在于根据题意构造平行四边形，进而转化已知条件;思路2的关键在于构造与△GAF全等的三角形，其复杂之处在于两次证明全等.

本问有多种解题思路，除了由“一边一角”构造全等、平行四边形来解决外，还可以由全等 + 相似、“中线倍长”或三角形中位线来解决.

通过上述剖析，我们可以发现添加辅助线构造模型在几何问题中的重要性.当题中满足“一边等、一角等”的条件时，可以考虑三角形全等的条件，构造出一条边，形成“SAS”全等，也可以构造出一个角度，形成“AAS”或“ASA”全等. “一边一角”构造全等实际上是在“已知条件”或者“所求结论”中先找出有关系的线段，然后在线段的一端上找出有关系的角，将“一边一角”放到一个三角形中，构造另外一个三角形与其全等.由“一边一角”构造全等是一种常用的解题思路，同学们要注意掌握.

拓展变形

例2 如图7所示，平行四边形ABCD和平行四边形CDEF有公共边CD，边AB和EF在同一条直线上，AC⊥CD且AC = AF，过点A作AH⊥BC，交CF于点G，交BC于点H，连接EG.

求证：BC = AG + EG.

证明：如图8所示，在AD上取一点M，使得AM = AG，连接CM.

∵四边形ABCD、四边形EFCD都是平行四边形，

∴AB = CD = EF，AD = BC，AD[?]BC，AB[?]CD.

∵AH⊥BC，∴AH⊥AD.

∵AC⊥AB，∴∠BAC = ∠GAM = 90°，

∴∠FAG = ∠CAM.

∵AF = AC，AG = AM，

∴△FAG ≌ △CAM（SAS），

∴∠ACM = ∠AFG = 45°，FG = CM.

∵∠ACD = ∠BAC = 90°，∴∠MCD = 45° = ∠EFG.

∵EF = CD，FG = CM，

∴△EFG ≌ △DCM（SAS），

∴EG = DM，

∴AG + EG = AM + DM = AD = BC.

即BC = AG + EG.

（作者单位：辽宁教育学院 沈阳师范大学）