浅谈矩阵的初等行变换在线性代数中的应用

张亚龙

摘要：本文从矩阵的初等行变换出发，分别提出在矩阵、向量组、线性方程组、矩阵的特征向量、二次型中的一些应用，并呈现对应例题，加强学生对矩阵的初等行变换的理解与应用.

关键词：初等行变换;矩阵;向量组;线性方程组

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）21-0029-03

目前，《线性代数》这门课程是理工科和经管类必开设的一门课程，主要内容包括行列式、矩阵、线性方程组、向量组、相似矩阵、二次型等.矩阵的初等行变换贯穿在整个线性代数的内容中，为了方便学生学习，下面归纳总结了关于矩阵初等行变换在线性代数中的应用.

1 矩阵中的应用

1.1 求矩阵的逆

若矩阵A可逆，则A-1也可逆，A-1可以表示成若干个初等矩阵的乘积，因此可由矩阵的初等行变换求A-1，即（A，E）初等行变换（E，A-1），我们将矩阵A和单位矩阵E都做初等行变换，当矩阵A化为单位矩阵E时，单位矩阵E就变成了A-1.

例1求矩阵A=1-20

120

221的逆.

解作一个3×6的矩阵（A，E），并对其做矩阵的初等行变换.

（A，E）=1-20100

120010

221001→

10012120

010-14140

001-12-321=（E，A-1）.

因此，A-1=12120

-14140

-12-321.

1.2 求矩阵的秩

矩阵秩的定义是非零子式的最高阶数，我们知道初等变换不改变矩阵的秩，对矩阵A做初等行变换化为行阶梯形矩阵B，由行列式的性质可知，矩阵A和矩阵B的非零子式最高阶数相同，所以矩阵A与矩阵B的秩相等.

例2求矩阵A=1-1210

10011

2-2420

03001的秩.

解对矩阵A做初等行变换化为行阶梯形矩阵.

A=1-1210

10011

2-2420

03001→1-1210

01-201

0060-2

00000=B

因为矩阵B中有三个非零行，即R（B）=3，所以R（A）=3.

2 在向量组中应用

2.1 求向量组的秩

由于任何矩阵A，它的行秩=列秩=R（A），因此我们只需将向量组中的向量均按列构成一个矩阵A，向量组的秩就等于矩阵A的秩.

例3求向量组α1=（1，-2，2），α2=（1，-4，0），α3=（1，-2，2）的秩.

解以αT1，αT2，αT3为列向量构成矩阵A，并对矩阵A进行初等行变换，把A化为阶梯形矩阵B.

A=111

-2-4-2

202→111

0-20

0-20→111

010

000=B，得R（A）=R（B）=2，又因為向量组α1，α2，α3的秩等于矩阵A的秩，即向量组α1，α2，α3的秩为2.

2.2 求向量组的极大无关组

由于初等行变换不改变矩阵列向量的线性关系，因此可由初等行变换求解向量组的极大无关组.

例4求向量组α1=（1，2，3，0），α2=（-1，-2，0，3），α3=（2，4，6，0），α4=（1，-2，-1，0）的一个极大线性无关组.

解以αT1，αT2，αT3，αT4为列向量构成矩阵A，并对矩阵A进行初等行变换，把A化为行最简形矩阵B.

A=1-121

2-24-2

306-1

0300→1020

0100

0001

0000=B

非零行首非零元1所在的列作极大线性无关组，因此向量组α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组为α1，α2，α4.

3 在线性方程组中的应用

通过一系列的初等行变换，将系数矩阵或增广矩阵化为行最简形矩阵，判断方程组是否有解，有解的情况下，求出通解.

3.1 解齐次线性方程组

例5求解齐次线性方程组

2x1+x2-x3+3x4=0

x1+2x2+3x3+x4=0

3x2+7x3-x4=0

x1-x2-4x3+2x4=0

解对系数矩阵A进行初等行变换，化为行最简形矩阵，A=21-13

1231

037-1

1-1-42

→1231

0173-13

0000

0000→10-5353

0173-13

0000

0000

得同解方程组为x1=53x3-53x4

x2=-73x3+13x4其中x3，x4为自由未知量，令自由未知量x3

x4依次取1

0，0

1，得基础解系η1=53

-73

1

0，η2=-53

13

0

1，所以齐次线性方程组的通解为c1η1+c2η2，（c1，c2为任意常数）.

3.2 解非齐次线性方程组

例6求非齐次线性方程组x1+x2=5

2x1+x2+x3+2x4=1

5x1+3x2+2x3+2x4=3的通解.

解对增广矩阵B进行初等行变换，化为行最简形矩阵.

B=11005

21121

53223→

1012-4

01-1-29

000-2-4→1010-8

01-1013

00012

可以得出系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，并且小于未知量的个数，因此方程组有无数个解.即它的同解方程组为x1=-x3-8

x2=x3+13

x4=2，其中x3为自由未知量，令自由未知量x3=0，得特解α0=-8

13

0

2.

导出组的同解方程组为x1=-x3

x2=x3

x4=0，其中x3为自由未知量，令x3=1，得对应齐次线性方程组的基础解系η=-1

1

1

0，所以线性方程组的通解为α0+cη=-8

13

0

2+c-1

1

1

0，其中c為任意常数.

4 在矩阵特征向量中的应用

上面我们介绍了用初等行变换求解线性方程组，计算矩阵的特征向量就会涉及到解齐次线性方程组.

例7求矩阵A=22-2

25-4

-2-45的特征向量.

解由A-λE=2-λ2-2

25-λ-4

-2-45-λ=-（1-λ）2（λ-10）=0，得矩阵的特征值λ1=10，λ2=λ3=1.

当特征值λ1=10时，解齐次线性方程组（A-10E）X=0，即A-10E=-82-2

2-5-4

-2-45→201

011

000→1012

011

000得基础解系η1=-12

-1

1，故A的对应于特征值λ1=10的全部特征向量为c1-12

-1

1，其中c1为任意非零常数.

当λ2=λ3=1时，解齐次线性方程组（A-E）X=0，即A-E=12-2

24-4

-2-44→12-2

000

000，

其基础解系为η2=-2

1

0，η3=2

0

1，故A的对应于特征值λ2=λ3=1的全部特征向量为c2-2

1

0+c32

0

1，其中c2，c3是不全为零的任意常数.

矩阵的初等行变换贯穿于整个线性代数章节中，熟练应用初等行变换是学好线性代数的基础，学生要在平时学习中，学会归纳总结，使每个知识点建立联系.

参考文献：

[1] 同济大学数学系.工程数学线性代数[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2] 郝秀梅，姜庆华.线性代数[M].北京：经济科学出版社，2017.

[责任编辑：李璟]