浅析转化思想在解答立体几何问题中的应用

李小强

转化思想是指采用某种手段，使问题得以变换的一种数学思想，运用转化思想，可将复杂的问题转化为简单的问题;将难解的问题转化为容易求解的问题;将陌生的问题转化为熟悉的问题，从而提升解题的效率.本文主要谈一谈如何运用转化思想解答立体几何问题，

一、利用转化思想证明线面的平行与垂直关系

（1）依据立体几何中的线线平行、线面平行、面面平行的性质定理和判定定理可知：由线线平行可证明线面平行，由线面平行可证明面面平行，由线面平行可证明到线线平行，由面面平行可证明线面平行;（2）依据立体几何中的线线垂直、线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理可知：由线线垂直可证明线面垂直，由线面垂直可证明面面垂直，由线面垂直可证明线线垂直，由面面垂直可证明线面垂直.也就是说，线线、线面、面面之间的平行和垂直关系可以相互转化，在证明其中一种关系受阻时，可利用转化思想，通过证明其他两种关系来证明问题，

在無法直接证明直线与平面平行、平面与平面垂直时，可运用转化思想，先根据直线与平面平行的判定定理、平面与平面垂直的判定定理，证明平面外一条直线与平面内一条直线平行、直线与平面垂直，进而证明直线与平面平行、平面与平面垂直，

二、利用转化思想求空间距离

当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离等于直线与平面之间的距离，所以在求直线与平面之间的距离时，可将问题转化为求直线上任意一点到平面的距离;当平面与平面平行时，一个平面内的任意一点到另一个平面的距离等于平面与平面之间的距离，所以在求两个平行平面之间的距离时，可将问题转化为求一个平面内的任意一点到另一个平面的距离.而点到平面的距离，即为点到平面内的射影的距离，所以点到平面的距离，可转化为求点到其射影点的距离.

例2.如图2所示，平面PAC⊥平面ABC，等腰Rt△ABC的斜边是AC，E，F，O分别是线段PA，PB，AC的中点，G为线段OC的中点，若PA =PC= 10，AC= 16，求直线FG与平面BOE之间的距离.

解：设线段BC的中点为M，连接FM，GM，

因为平面FMG∥平面BOE，

因此FG∥平面BOE.

直线FG与平面BOE之间的距离即为点G到平面BOE的距离.

根据题意可知直线BO⊥平面PAC.

因此BO⊥EO，BO⊥GO，

解答本题，需灵活运用转化思想.首先根据直线与平面平行的性质，将问题转化为求点G到平面BOE的距离;然后利用等积法，将三棱锥G - BOE的体积转化为三棱锥E-BOG的体积，从而构建方程，求得空间距离.

在求解空间距离问题时，有时可运用转化思想，根据题意添加合适的辅助线，或将几何体进行切割，将立体几何问题转化为平面几何问题，利用平面几何中的性质、公理、定理等进行求解.

例3.如图3所示，已知正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为2，点E为线段BC的中点，点P在线段DiE上运动，那么点P到直线CC1距离的最小值等于_____ .

通过添加辅助线，将异面直线间的距离转化为两点之间的距离，便将复杂的立体几何问题转化为简单的平面几何问题，再结合正方体的性质以及直角三角形的性质就能求得最小距离，

例4.已知ABC-A，B，C1是正三棱柱，AB=3，AA1=4，M是线段AA，的中点，P是线段BC上一点，点P沿正三棱柱侧面经过侧棱CCi到达点M的最短路线长为√29.设点Ⅳ是这条最短路线与线段C1C的交点.

（I）求正三棱柱ABC-AiBiC，的侧面展开图的对角线长;

（Ⅱ）求线段PC和NC的长，

解：（I）根据题意易知，正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是矩形，且该矩形的长为9，宽为4，所以正三棱柱ABC-AiBlC1的侧面展开图的对角线长为h=√97，

解答本题，只需将正三棱柱的侧面展开，运用转化思想，将问题转化为平面几何中矩形的对角线长、两点间的最小距离问题，根据矩形以及直角三角形的性质即可顺利解题，

总之，在解答立体几何问题时，灵活运用转化思想，将线面之间的平行、垂直关系进行互化，将空间中点、线、面之间的距离转化为简单的几何运算问题，不仅能降低解题的难度，还能有效地提升解题的效率，在解题时，同学们需明确几何图形的特点，通过联想、观察、比较、类比，根据解题需求和相关的定理、性质明确转变问题的方向.

（作者单位：江西省宁都中学）