易小华：“结构型数学”的求索者

刘佳 姜楚华

易小华对蜜蜂并不陌生，但第一次看到蜂房时，她震撼了——一个个大小、形状、结构几乎完全相同的蜂巢连点成片、连片成块、连块成体，构成了一个完整、美观的结构体。“结构”这个词忽然像电影的慢镜头一般，在易小华的眼前缓缓地、反复地出现。她灵光忽现——眼前的蜂房，不正如自己对“结构型数学”教学的艰辛求索过程吗？

听得懂、学得会的数学，学生才喜欢

最初，易小华对小学数学教学的认识是“点状”的。

1993年7月，18岁的易小华从湖北省新洲师范学校毕业，被分配到武汉市黄陂区前川第一小学任教。刚走上讲台的她，凭着在学校读书时获得的对教育的一些理解，认为小学数学教学的“要诀”就是让学生轻松、快乐的学习。为了达到这样的效果，她把游戏、故事等手段充分运用到教学中。这样教学，轻松、快乐的氛围是达到了，但教学效果并不理想。

易小华清楚地记得，1996年，学校举行青年教师教学大练兵，她执教的是二年级的《笔算除法》。试教时，她首先引导学生利用“视算、听算、打手势算、悄悄算”等形式练习口算，回顾已有知识;接着用分苹果的问题情境引导学生列出除法算式;然后设计了三个活动，让学生在摆一摆中直观感受平均分的过程、在写一写中学习规范的书写格式、在说一说中理解竖式中每个数的实际意义;最后组织学生通过“比一比，夺红旗”的形式进行巩固练习。在趣味情境和奖励机制的激励下，学生学习热情很高，但易小华发现不少学生不能熟练地运用竖式计算，计算速度、正确率等明显不达标。如何突破呢？她向同年级组的吴君老师请教。吴老师刚好要教学这个内容，就真诚地邀请她去听课。课上，吴老师不急不徐，一步步引导学生掌握了笔算除法的计算方法，最后师生一起用“一商、二乘、三减、四比、五落”10个字概括出除法竖式的计算过程和书写步骤。简洁明了的概括易懂易记、操作性强，为学生提供了掌握除法竖式的思维支架。练兵课上，易小华借鉴这种方法开展教学，学生学得很轻松，教学效果也很好，她因此被评为低段组第一名。这次教学经历让易小华意识到，为学生学习核心内容提供认知的工具，能有效促进学生对新知的理解和记忆。

1998底年，易小华获得了代表学校参加黄陂区课堂教学竞赛的机会。当时她抽到的上课内容是五年级的《列方程解文字叙述题》（现行教材中这个内容已经不再独立呈现）。这个内容比较单调，易小华总结了“读信息—找关系—列算式—求解答”的思维支架，设计了多样化的变式练习，并在教学中融入激励措施，充分调动学生学习的兴趣和主动性。结果，课堂氛围很好，学生抽测的正确率也很高，易小华一举夺得比赛的第一名。

“这个阶段，我眼中的数学是一个一个的知识点。”易小华说，“教学的过程，就是突破一个一个知识点的过程。只要把每个点都突破了，连点成片，学生就完成了某个阶段的学习任务。而突破的方法，就是给学生搭建思维支架。”易小华认为，思维支架就是学生的“认知工具”，教师只要找准了这个工具，并引导学生正确、迅速地使用它，学生就能听得懂、学得会。

多问一个为什么，才能引领学生思维发展

改变发生在2001年。这一年《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》颁布并实施，突出强调数学教学的过程性目标，让学生“知其所以然”。这样的要求给易小华带来了很大的思想冲击。她敏锐地发现，自己以往的教学更多指向结果性目标的达成，对于“为什么这样做”引导得不够，学生虽然听得懂、学得会，但对知识的理解往往是浅层的。如此教学，学生不仅学到的是碎片化知识，而且思维发展也会受限制。如何改进教学，落实课程标准的要求呢？

一次教研活动打开了易小华的思路。活动中，时任分管教学工作的副校长杨明清引领数学教师共同研究“课标实验稿”。他特别提醒老师要关注课标对“理解”的界定——“能描述对象的特征和由来，能明确地阐述此对象与有关对象之间的区别与聯系”。“这样的数学理解指向的是一种深度理解。”易小华豁然开朗，要让学生达成过程性目标，除了知识本身，还要有意识地引导学生明确知识的来龙去脉和知识点之间的关联。

有了明确的思想指引，易小华开始有针对性地关注数学理解方面的理论和学术见解。一次偶然的阅读，让英国著名数学教育与心理学专家理查德·斯根普（Ricard Skemp）提出的数学了解（理解）的两种类型——工具性了解、关系性了解——走入了易小华的视野。易小华又找到他的著作《数学学习的心理学》来阅读，并广泛研读国内学者如南京师范大学马复教授等的相关论文、论著。通过学习，她认识到自己以往的教学偏重于让学生获得工具性理解，这是一种基于语义的理解或者说程序性理解，指向的是数学知识的“初步认识”和“常规使用”，而要达成过程性目标，还要“多问一个为什么”，即抓住关系性理解来教学。通过阅读，她还发现关系性理解强调揭示知识产生、发展的过程;强调运用演绎逻辑分析、构建知识之间的联接;强调将数学知识的形成和论证提升到数学思想方法的层面;强调形成自身的数学认知结构，并在变式的问题情境中加以运用。

如何帮助学生实现关系性理解呢？经过长时间的思考与总结，易小华的思路逐渐清晰起来，她将关系性理解教学策略归结为“一探、二变、三总结”：“一探”即通过自主探究，经历知识发生、发展的过程，感悟数学思想方法;“二变”即通过变式训练达到对知识的本质认识;“三总结”即通过回顾总结，主动建构知识网络，实现深度理解。

多边形面积的教学能很好地体现易小华基于关系性理解进行单元整体教学的思路。易小华把“一探”重点放在《平行四边形的面积》教学中。她认为，各种平面图形面积计算方法之间有紧密联系，本节课是学生进一步学习三角形和梯形面积的基础，所以教学应立足“转化”的思想方法，引导学生自主探究。基于此，在引入环节，易小华有意识地设计了长方形和平行四边形花坛大小比较的问题，为学生自主探究提供关联素材;探究环节，易小华引导学生自主探索图形转化的方法和过程，关注“割补”前后图形要素的变与不变，进而发现转化前后图形要素之间的关系，顺利推导出平行四边形面积计算公式。这样教学，学生经历了平行四边形面积公示的生成过程，感悟了转化思想，积累了活动经验。

易小华把“二变”的重点放在“三角形和梯形的面积”教学中。之所以把三角形和梯形的面积放在一起教学，是基于图形面积转化方法的一致性，即三角形和梯形的面积一般都是通过“倍拼法”先转化成平行四边形，再在平行四边形面积公式基础上乘二分之一得到的。实际教学中，易小华一方面抓住转化思想方法应用场景的变化，引导学生将平行四边形面积的学习路径运用到三角形和梯形面积的探究中，实现三角形、梯形面积的自主转化和计算公式的自主推导，感悟转化思想的本质——把未知问题转化（复杂问题）为已知问题（简单问题）来解决;另一方面抓住具体转化方法的变化，引导学生关注“倍拼法”和“割补法”两种不同的面积转化方法，在变式运用中感悟转化思想方法的灵活性。

最后，易小华设计了“拓展运用”课，借助格子图演示平行四边形、三角形、梯形的面积转化过程，引导学生回顾、总结这三种图形面积公式的推导过程，进一步明确它们的起点都是长方形，而长方形的面积本质上是它所包含的面积单位的个数，进而理解多边形面积的大小本质上都是图形所含面积单位个数的多少。进一步地，易小华引导学生将多边形面积计算的思想方法运用到组合图形和不规则图形面积的计算中。这样教学，既让学生深度理解了多边形面积公式之间的关联，又让学生进一步明确了平面图形面积的本质。

基于关系性理解的教学既帮助学生把平行四边形、三角形、梯形的面积纵向串连起来，形成一个知识链，降低了学生记忆的难度，又帮助学生用转化、等积变形等思想方法把平行四边形、三角形、梯形面积公式的推导横向关联在一起，提高了学生理解的深度。这样学习，学生脑海中的知识就会“连片成块”，具有了关联性。

数学学习的真正乐趣，源于数学本身的结构之美

关系性理解能让学生对某一类知识有相对完整的理解，但它不能很好地解决“这一类”与“那一类”的关系，即不能让学生对数学知识形成结构性思考，有效解决“连块成体”的问题。

如何解决这个问题呢？2017年，易小华在时任黄陂区数学教研员王晓东的建议下，加入了“汪学军名师工作室”。在一次关于面积教学的研讨中，一名老师提出学生很容易混淆面积和周长的概念的问题。这个问题引发了易小华的思考，她认为学生容易混淆面积和周长的根源不在于两者显性地存在于同一个图形中，而在于这两个概念在本质上有相似的数学结构。因此，教师教学时不仅要让学生通过描一描“线”感受周长、通过摸一摸“面”感受面积，直观感知两者的区别，还要让学生通过具有思辨性的练习，强化周长和面积的区别，更要从度量意义上，让学生认识到周长的本质和面积的本质具有一致性。

基于以上认识，易小华设计了《长方形、正方形的周长和面积》练习课。这节课是在学生理解并掌握了长方形和正方形的面积公式，并会简单应用的基礎上设计的，旨在通过有趣的探究学习强化学生对周长和面积的区别与联系的认识，感悟数学的魅力。课始，易小华拿出一张A4纸，引出长方形、正方形的周长和面积公式，并让学生通过实际测量计算A4纸的周长和面积。接着，她引导学生将A4纸对折，思考对折后得到的两个长方形的面积是否相等。有的学生上下对折，有的学生左右对折，有的学生通过计算发现这两个长方形面积相等，还有的学生直接说明无论怎么对折，折出的小长方形的面积都是原A4纸的一半。而对于周长，学生通过计算发现不同对折方式得到的小长方形的周长不相等，进而得出“面积相等的长方形周长不一定相等”的结论。于是，易小华组织学生分析周长相等的两个长方形的面积是否相等，并给学生一张表格，让他们填写周长是20厘米的长方形可能的长和宽及其面积。学生探究、交流后，发现周长相等的长方形面积不一定相等。然后，易小华引导学生计算“凹”“凸”样图形的周长和面积，活化理解。最后，她将前面研究过的图形放在方格纸上，引导学生分别数一数图形周长所包含的小方格的边长个数和图形面积所包含的小方格的个数，使学生借助数形结合明确周长和面积在概念本质上的关联，直观地理解了这种结构的一致性。易小华认为，这种结构化的认知还可以迁移到后续立体图形体积的学习中，让学生对周长、面积、体积形成结构化的整体认知。

采访即将结束时，一个喜讯不期而至——在第十一批特级教师评选中，易小华以优异成绩获得殊荣。不知什么时候，一只蜜蜂如信使般从敞开的窗户中飞进来，在易小华的眼前飞舞、盘旋。她静静地盯着它，眼睛里写满了平静和执着。

责任编辑  刘佳