同一单元系列课主题教研的设计与实施

邓文婕 韦娜

【摘要】本文聚焦同一单元系列课主题教研活动，以人教版三年级下册“两位数乘两位数”单元系列课教学研究为例，从单元教学内容重构与单元教学整体规划、单元系列课整体推进策略两个层面，层次递进地阐述同一单元系列课主题教研活动的设计与实施;结合案例研究探讨同一单元系列课促进学生知识自然生长的策略和方法，着重论述种子课、生长课、拓展课三种系列课课型以核心素养为导向的教学立足点及课堂中培养学生核心素养的教学策略。

【关键词】单元 主题教研 种子课 生长课 拓展课

【中图分类号】G62 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2022）19-0047-05

传统的小学数学单课教研，既不利于师生整体化结构化思维的培育和发展，也不利于学生数学核心素养的培育和发展。同一单元系列课教研，需要教师秉持单元整体教学的理念，立足教材单元或重组后的教材单元，基于单元教学内容的学科本质或与单元教学内容相关的学生核心素养培养要求，对整个单元的教学内容进行全面重构，以种子课、生长课、拓展课等系列课的方式促进师生整体结构化教学思维的形成，在发展教师专业能力的同时，切实激发学生的数学学习兴趣，发展学生的数学关键能力，使学生能够在理解数学概念本质、习得相关数学思想方法的同时，形成和发展数学核心素养。本文以人教版三年级下册“两位数乘两位数”单元（以下简称本单元）系列课教学研究为例，谈谈我们的做法。

一、单元教学内容重构与单元教学整体规划

同一单元系列课教学的立足点是教材单元或重组后的教材单元，着眼点是数学学科本质和数学核心素养。为了强化教师对单元教学的整体规划意识，同一单元系列课主题教研需要教师精心梳理教材单元或重组后的教材单元中的教学内容，构建核心素养视域下的单元教学内容框架，从数学知识技能、思想方法、核心素养三个维度对教学内容进行全面解析与重构，形成相关的数学知识技能结构和数学思想方法结构，找出单元教学重难点，分析相关核心素养在种子课、生长课、拓展课系列课教学中的培养策略及教学的结构层次。

本单元属于小学数学数与代数领域的课程内容。在小学阶段，数与代数领域的课程内容主要包括“数与运算”“数量关系”两大学习主题，两大学习主题的课程内容在学段之间逐段递进、螺旋上升。本单元内容“两位数乘两位数”，属于“数与运算”主题的学习内容，其核心素养主要体现为运算能力。《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力，要求学生“能够明晰运算的对象和意义，理解算法与算理之间的关系”“能够理解运算的问题，选择合理简洁的运算策略解决问题”“能够通过运算促进数学推理能力的发展”，“有助于学生形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度”。

本单元是在学生学习了笔算多位数乘一位数的运算之后的知识递进。站在单元整体教学视角，我们重构了本单元的教学内容，按照种子课、生长课、拓展课的方式对单元教学进行了如图1所示的整体规划。

备课组以“两位数乘两位数（不进位笔算）”为种子课，重点教学笔算两位数乘两位数时乘的顺序、各部分积的书写位置及实际意义，使学生能够正确理解其中的算理;再以“两位数乘两位数（进位笔算）”为知识生长课，引导学生基于算理，自主发现并总结新知识的“生长点”即两位数乘两位数进位笔算的方法;最后站在单元整体视角，挖掘后续学习的延伸点，在拓展课中通过两组题目的计算，引导学生“探究两位数乘法的规律”，让学生明白巧算的奥妙，为后续学习三位数乘两位数积累经验。

二、单元系列课促进学生知识自然生长的整体推进策略

同一单元系列课主题教研按照学生数学核心素养形成和发展的逻辑顺序，以促进学生知识自然生长为旨归，依次安排种子课、生长课、拓展课的教学研讨。在数与代数领域，“数与运算”主题教学的关键要素是意义、算理和算法，其中理解算理、掌握算法是形成运算能力的关键：将算理和算法有机融合，让学生以理求法、法中有理，由算理直观化过渡到算法抽象化，从而学会“明白地计算”。在整体推进本单元系列课主题教研的过程中，我们结合学生的认知特点采取了不同的教学策略，促进学生运算能力的不断发展。

（一）种子课：运用数形结合思想，引导学生在探究式学习过程中理解笔算两位数乘两位数的算理，掌握两位数乘两位数不进位笔算的方法

数形结合是一种可以使复杂问题简单化、抽象问题具象化的数学思想方法。将数形结合巧妙运用于小学数学计算教学，可以使学生在心中有形、见数思形地探索相关计算方法的过程中自然理解运算的道理，并在明白算理的基础上掌握正确的算法，最终形成自己的运算能力。在“两位数乘两位数（不进位笔算）”种子课教学中，教师重点通过“尝试计算·探究算法”“图式勾连·理解算理”两个教学环节，引导学生探索两位数乘两位数的算理和算法。

1.尝试计算·探究算法

课堂中，教师首先课件出示教材单元中的例1，提醒学生可以借助点子图圈一圈、算一算、说一说，自主探索14×12的计算结果;之后基于学生自主探索的方法，从中选取几种代表性的做法，让学生说一说。

如图2所示，生1把12行点子平均分成了3个部分，每个部分含4行点子：先用多位数乘一位数的算法，计算14×4=56，也就是先算买4套书是多少本，再用这个结果乘3，就是买12套书一共有多少本。在学生陈述圈算方法的过程中，教师追问“14×4在点子图的哪里”“56×3在点子图的哪里”，对学生进行数形结合的学法引导。

如图3所示，生2把12行点子分成了10行和2行：先算14×10=140，也就是买10套书有多少本;再算14×2=28，也就是买2套书有多少本;再算140+28=168，就是买12套书一共有多少本。此法符合算法優化策略，且已触及本课教学的知识生长点，是不可错失的课程资源。

师：你是怎么想到的？

生2：把12分成10和2，就变成了两位数乘整十数和两位数乘一位数，这样计算比较简单。

师：你能找到14×10、14×2、140+28分别在点子图的哪里吗？

生2：（学生指图作答后继续发言）我还可以列竖式计算。（师课件呈现如图4所示学生所列竖式）先用个位上的2去乘14，将结果8写在个位上，将2×1的结果2写在十位上;接着用十位上的1去乘14，将1×4的结果4写在十位上、1×1的结果1写在4的左边;最后把两次相乘的积相加，结果是168。

师：同学们有什么问题要问他吗？

生3：为什么1乘4的积要写在十位上？

生2：因为1在十位上，表示1个十乘4得4个十，所以要写在十位上。用十位上的1去乘14得14个十，也就是140，末尾的0可以省略不写，这样更简便。

师：生2的讲解很棒！请同学们看下面的竖式（课件呈现如图5所示竖式），并完成填空，想一想竖式中第一步的积28表示什么？第二步的积140表示什么？

2.图式勾连·理解算理

该教学环节的重点是基于学生的圈算与思考，让学生厘清算理，学会明白地计算。教学中，教师并列呈现了如图6所示生2所说的竖式与圈图，让学生说说其中的数形关系。

生1：竖式计算先用个位上的2去乘14，和点子图第二块的点子数是一样的。

生2：竖式计算第二步用十位上的1去乘14，和点子图第一块的点子数是一样的，都是算14×10的积。

生3：竖式和点子图都是把12拆分成10和2，先分别计算，再把它们的积合起來。

学生交流后，教师用课件动态演示竖式与点子图的一一对应、相互勾连，再进行小结：两位数乘两位数的笔算，竖式计算只是分解与组合的一个变形。其实，不管是点子图还是竖式计算，“先分后合”都是为了将新知识转化成旧知识，把两位数乘两位数转化成我们学过的两位数乘一位数和两位数乘整十数，再进行计算。

最后教师又引导学生观察和思考横式中的14×10、14×2分别在点子图的哪里，点子图里的14×10、14×2又分别在横式的哪里，并得到了学生的正确回应。

以上种子课教学，运用数形结合思想推进学生的自主探究与思考：在学生自主探究14×12的积的时候，教师让学生在点子图上圈圈算算，得出不同的算法，并以学生的点子图为蓝本，指引学生明确其所列横式与点子图的一一对应关系，初步感受其中所蕴含的数形结合思想，沟通数、形之间的内在联系;在师生交流两位数乘两位数不进位笔算的算理、算法的过程中，教师聚焦生2的点子图、竖式和横式，将它们用动态演示的方式进行了分步勾连，让学生看清算法形成的过程，促进学生理解算法中的算理。

（二）生长课：理法结合，问题导学，培养和发展学生自主推导两位数乘两位数进位笔算方法的能力

在小学数学计算教学中，算法与算理相辅相成：算理为算法提供理论支撑，算法是算理的概括与凝练，只有理法结合才能有效促进学生运算能力的提升。教师借助直观演示，帮助学生搭建算理与算法之间的桥梁，促进学生对算理和算法的理解与内化。

将“两位数乘两位数（进位笔算）”作为“两位数乘两位数（不进位笔算）”的生长课，其知识生长点体现在运算过程中的“进位”上，进位计算增加了运算过程的复杂程度。在“两位数乘两位数（进位笔算）”生长课教学中，教师课件出示教材单元中的例2，让学生尝试运用竖式计算48×37的结果，并提醒学生：“在计算过程中如果遇到问题，想想能否用自己曾经学过的知识解决？计算完毕，同桌再交流自己的算法。”将新知转化为旧知，教师始终在指导学生自主学习的方法。教师在巡堂过程中留意发现有价值的学情资源，请生1上台板演了如图7所示的竖式计算，并进行了说明。

生1：我先用个位上的7去乘48，算出7个班需要多少盒酸奶，计算中注意进位，为了防止遗忘，可以把进位的数字写在7的左下方;再用十位上的3乘48，表示30个班需要多少盒酸奶。最后把两次的结果加起来，7个班的加上30个班的，正好是37个班的学生所需要的酸奶总盒数。

师：第一次乘积336中百位上的3是怎么算出来的？

生1：个位上的7乘个位上的8得56，个位上写6，向十位进5;再用个位上的7乘十位上的4得28，十位上8加5等于13，十位上写3，向百位进1;百位上2加1等于3，所以百位上也是3。

师：第二次乘积中百位上的4是怎么算出来的？

生1：十位上的3乘个位上的8得24，在十位上写4，向百位进2;十位上的3乘十位上的4得12，百位上的2加进位2等于4，所以百位上写4。

师：于是我们可以得出如下结论。（带学生一起总结）计算第二个乘数十位上3乘第一个乘数的每一位时，哪一位满几十向前一位进位几，可以用笔将进位的数字标注在第二个乘数相应数字的左下角，也可以记在心中，下一步计算时千万别忘记加上这个“进位的数”。

师：这节课，大家利用学过的知识，解决了一个新问题！现在，请大家把今天学习的两位数乘两位数笔算乘法和之前学过的两位数乘两位数笔算乘法进行比较，你们发现了什么不同？

生：上节课的笔算乘法每一次乘的时候都不需要进位，今天的笔算乘法出现了比较多的进位。

师：（在课题中补充板书“进位”二字）比较这两节课所学的笔算乘法，大家想一想，它们的计算过程有什么相同的地方？（带学生一起小结）都是先用第二个乘数的个位数去乘第一个乘数的每一位数，得数末位和乘数的个位对齐;再用第二个乘数的十位数去乘第一个乘数的每一位数，得数末位和乘数的十位对齐;最后把两次乘得的积加起来。

师：笔算时要特别注意什么？

生：计算中哪一位满几十就向前一位进几。

以上生长课教学，教师以学生在种子课上所学的知识为基础：先让学生自主运用已学知识尝试列竖式计算48×37;再提问学生“第一次乘积336中百位上的3是怎么算出来的”“第二次乘积中百位上的4是怎么算出来的”，聚焦本课知识“生长点”——两位数乘两位数的进位笔算即满几十向前一位进几，适时组织课堂讨论，为学生的知识生长搭建“脚手架”，留出时间和空间;最后顺应学生的学习体验，因势利导启发学生总结两位数乘两位数的笔算方法，建构新的运算法则，提升学生的运算能力。

（三）拓展课：对比类推，引导学生基于乘数的特殊性探究巧算的道理，进一步提升学生的运算能力

在运算能力核心素养中，理解算理、掌握算法固然重要，“能够理解运算的问题，选择合理简洁的运算策略解决问题”“能够通过运算促进数学推理能力的发展”更能提升学生的运算思维品质。

对比类推是根据两个对象在某种属性上相同或相似，通过比较而推断出它们在其他属性上也相同或相似的推理过程。在拓展课教学中，教师引导学生在沟通算理与算法的基础上经历“计算—分析—猜想—验证猜想”的过程，发展思维的深刻性与敏锐性，从中发现新的运算规律，促进推理能力和运算能力的同步发展，实现明白、合理、简便地计算。在“探究两位数乘法的规律”的拓展课教学中，教师运用对比类推的方法，引导学生分别探究两个相同的两位数相乘、两个“同头尾合十”的两位数相乘中所蕴含的新的运算规律。

1.探究两个相同两位数相乘的运算规律

课堂中，教师基于该单元“练习十”中的第10题，设计了一个“计算大王”比赛，让学生在1分钟内快速计算15×15、25×25、35×35、45×45、55×55、65×65、75×75、85×85、95×95的积，并评选出本班的“计算大王”;之后要求“计算大王”介绍算得又对又快的方法，引导学生学会发现两个相同的两位数相乘的计算规律，让学生学会巧算。“计算大王”的方法是把它们的乘积分成低位和高位两个部分，用因数的个位数、十位数各自相乘得出计算的结果：（1）两个因数的个位数相乘即5×5=25作为积的低位数;（2）乘数的十位数×（乘数的十位数+1）作为积的高位数。如65×65的高位是6×（6+1）=42，低位是5×5=25，于是结果是4 225。

从结果倒推计算过程，虽然结论不差，可其中的算理何在呢？笔者再次“请”出了数形结合数学思想，引导学生去经历沟通竖式、点子图之间内在联系的过程，以一种全新的四步计算对二步计算进行升级，让学生从中提炼新的算法，明白该算法中所蕴含的算理。以15×15为例，先是呈现了生1列出的15×15的竖式和点子图，并在点子图中表示了竖式计算的每一步，如图8（1）所示;之后教师课件呈现了自己给出的如图8（2）所示的点子图和竖式计算，并询问学生“这样写可以吗”，生齐答“可以”。于是教师让大家“找一找老师的竖式和生1的竖式之间存在哪些内在联系，再说一说理由”。

生2：老师的竖式中有25+50=75，50+100=150。

师：也就是说，将生1的75分成了5个5和5个10，将生1的150分成了10个5和10个10。（生点头。师课件出示：5个5和5个10，10个5和10个10。）

师：那你能在点子图中找到这个竖式的计算过程吗？

生2：老师把另一个因数15也进行了分割，分成了10和5。这样，上面就变成了10×10=100，10×5=50;下面就变成了5×10=50，5×5=25。

师：这样就把点子图分成了4个部分。这也说明，竖式4步计算和2步计算之间是有联系的。（教师运用课件动态演示，引导学生找到点子图和竖式4步计算之间的一一对应关系）

接下来，教师课件呈现计算题25×25及其点子图，引导学生模仿老师的竖式4步计算方法，说一说25×25的计算过程，学生顺利给出正确解答。最后，教师安排学生在探究卡上的题目35×35、45×45、55×55、65×65中任选一题，运用4步计算的方法进行竖式计算，进一步沟通点子图和4步竖式计算之间的内在联系，探讨“计算大王”算法的合理性。

课堂中，教师课件呈现“计算大王”的算法和学生运用4步计算方法完成的4道练习题，然后与学生展开了下面的对话。

师：我们回头看一下“计算大王”的算法，再观察这些竖式的计算过程，你有什么发现？（同桌交流）谁来说说为什么积的末尾是25？

生1：十位乘十位和交叉相乘的积的和都是整百数，所以积的后两位一定是因数个位数相乘的结果，即25。

生2：十位与个位交叉相乘的积的和，刚好是十位上的整百数。

师：同学们运用自己的智慧解释了积的低位都是25。那么，为什么积的高位上的数是乘数的十位上的数×（乘数的十位上的数+1）？谁来解释一下？（生无应答）

师：没关系，我们请出前面的点子图，或许它能让我们明白“为什么”。请大家仔细观察！（师出示如图9所示点子图，借助多媒体课件进行动态演示，促进学生的理解。）

师：通过点子图的变化我们可以发现以下规律。（1）5个20加5个20，等于10个20，比原来多了10个20，所以在十位上加1（板书：10个20;20个20）;5个30加5个30，等于10个30，比原来多了10个30，所以在十位上加1;5个40加5个40，等于10个40，比原来多了10个40，所以在十位上加1……看来，在十位上加的这个1，是因为个位和十位交叉相乘部分的和都是10个几十。所以积的高位上的数就是乘数的十位上的数×（乘数的十位上的数+1）。

2.探究两个“同头尾合十”两位数相乘的规律

运用4步计算的方法解决问题，拓展“同头尾合十”算式的新算法，引导学生进一步理解巧算的道理。课堂中，教师课件出示算式17×13=221，62×68=4 216，44×46=2 024。让学生观察以上算式，发现其共同特征。学生很快发现：每个算式中的兩个因数之间都存在“十位相同，个位的和是10”的共同特征。教师把这个特征概括为“同头尾合十”。然后让学生基于算式“31×□□”，写出一个同头尾合十的算式;根据算式“□□×□□=616”“□□×□□=3 024”的结果推导其“同头尾合十”算式。学生基于前面探讨两个相同两位数相乘的运算规律的学习方法，探讨“同头尾合十”算式的运算规律，最终发现二者具有相同的运算规律，真是意外惊喜。

以上拓展课教学，教师基于数学基础课程，从教材的练习题中挖掘可拓展的课程资源，将习题通过变式、引申、重组，变封闭为开放、变单一为多元，进一步发展学生的结构化思维，让学生在解决“一类”问题的过程中不断发展运算能力、提升巧算水平，从中感受数学学习的乐趣。

同一单元系列课主题教研，不仅促进了教师专业能力的提升，而且有效发展了学生的学科核心素养：种子课促进了学生对数学的理解，为学生的知识生长种下了丰实的种子，让学生明确了知识生长的方向;生长课引领学生照着种子课既定的方向，让知识顺利地生根发芽，变得枝繁叶茂;拓展课基于学科本质促进学生理解水平的提升，使学生的知识生长结出更为丰硕的果实。如果说种子课和生长课是追求知识的“宽”，那么拓展课就是在追求思维的“深”和“精”。同一单元系列课主题教研，给教师的常态教研带来了更多惊喜，也为学生的核心素养发展提供了一个很好的支架。

参考文献

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[5]李晓梅，刘稀凤.促进学生理解的小学数学生长课教学设计策略[J].小学数学教育，2021（13）：4-6.

[6]朱礼娜.小学数学单元整体教学体系架构与实施的研究[J].教育观察，2016，5（16）：83-85.

作者简介：邓文婕（1984— ），广西融水人，一级教师，主要研究方向为基于核心素养的小学数学单元结构化教学;韦娜（1979— ），广西柳州人，一级教师，主要研究方向为核心素养下的小学数学单元作业设计。

（责编 白聪敏）