例析函数与方程思想在解题中的应用

赵旭东

函数与方程思想是高中数学中的重要思想，且在解答高中数学问题中应用广泛.在数学中，函数和方程是两个不同的概念，但是它们之间的联系紧密，如函数 y = f （x）的零点即为 f （x）=0的根;方程根的个数、范围可由函数的图象来进行判断.因此解题时可以通过构造方程或函数模型，把方程和函数相结合，将二者进行合理的互化，灵活运用函数的图象、性质以及方程的求根公式、根的判别式、根与系数的关系来解题.下面结合实例，谈一谈函数与方程思想在解题中的应用.

一、在解答数列问题中的应用

数列是一种特殊的函数.在解答数列问题时，可将数列的和式、通项公式看作关于自然数 n 的函数，通过构建方程，研究函数的性质，以便利用二次函数、一次函数、指数函数的性质以及方程的性质来解题.

解答第一个问题，需根据已知递推式建立方程，通过解方程来得到 an +1、an 的关系式，从而根据等比数列的通项公式求得问题的答案;对于第二个问题，需根据等比数列的前 n 项公式求得 Tn ，将要比较的两式化简，再通过作差来构造函数 f （x），利用导函數与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，求得函数 f （x）的最值，进而比较出两式的大小.利用函数和方程思想解答数列问题，需将问题中存在的多个数量关系结合在一起，构建关于变量 n 的函数关系式或方程.

二、在解答不等式问题中的应用

函数与方程思想常用于求不等式恒成立问题中变量的取值范围、解不等式等.运用函数与方程思想解答不等式问题，往往需根据不等式的结构特点，建立方程（组）或者函数式，通过讨论含参数方程，将问题转化为函数最值问题，从而求得问题的答案.

我们根据函数与方程思想，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题.本题中的函数零点尽管不能够确定，但可以根据零点存在性定理大致确定零点所在的位置，利用设而不求法，建立方程，得到零点，再在各个区间上讨论函数的单调性，从而求得函数的最值，进而求得 k 的最大整数值.

三、在解答解三角形问题中的应用

解答解三角形问题通常要运用正余弦定理、勾股定理、三角函数的性质.在解答解三角形的范围问题、最值问题时，可利用函数与方程的思想建立关于边角的方程，构造关于变量的函数式，这样便可通过解方程，利用函数的性质，快速求得问题的答案.

对于本题，我们根据已知条件很难直接求得 AB、 BC 及其最大值，于是引入参数θ，根据正弦定理构造方程求得 AB、BC ，得到关于θ三角函数式，便可根据正弦函数的有界性求得问题的答案.

四、在解答解析几何问题中的应用

解析几何中的曲线方程均为二次方程，因此在解答解析几何问题时，可运用函数与方程思想，构造一元二次方程，利用其判别式、根与系数的关系、求根公式来解题.对于与动点有关的问题、最值问题、取值范围问题均可设出变量，构造函数模型，利用函数的性质和图象来分析问题.

解答本题，需先将直线与抛物线方程联立，构造一元二次方程，利用韦达定理和中点坐标公式求得 M 点的坐标，再根据圆上切线的性质建立方程，利用一元二次方程的判别式和函数的单调性求得 r 的取值范围.

函数与方程的思想都需用运动和变化的观点来对问题中的数量、几何关系进行分析、研究.运用函数与方程思想解题，关键要根据题意构造出合适的方程（组），建立恰当的函数模型，将数列问题、不等式问题、解三角形问题、解析几何问题转化为方程问题、函数问题，根据方程与函数之间的关系将方程、函数互化，通过解方程或方程组，利用一元二次方程的性质和函数的有界性、单调性来求得问题的答案.