例谈求三角函数最值的几种途径

王海桥

三角函数最值问题侧重于考查三角函数的公式、性质以及进行三角恒等变换的技巧.常见的命题形式是根据已知三角函数式、根据已知角的范围求三角函数的最值.此类问题的难度一般不大，在解题时需选择合适的方法，将三角函数式进行适当的变形、化简，利用三角函数、函数的有界性来求得最值.下面谈一谈求解三角函数最值问题的几种途径.

一、利用三角函数的有界性

有界性是三角函数的重要性质之一.一般地，当 x ∈ R 时，|sin x|≤ 1，|cos x|≤1.在解答三角函数最值问题时，需首先根据题意确定函数的定义域，然后利用诱导公式、二倍角公式、两角的和差公式等，通过三角恒等变换，将目标式进行变形，化简为只含一种函数名称、次数最低、角的个数最少的式子，便可根据三角函数的有界性和单调性求得各个单调区间上的最值，最后比较所得的最值即可解题.

该函数式的分子、分母中均含有正弦函数式，较为复杂，于是可将 y 看作参数，用 y 表示 sinx ，根据 sinx 的有界性，建立关于 y 的不等式，解该不等式即可求得 y 的取值范围，求得函数的最值.运用该方法解题，需使化简后的式子为只含正弦函数、余弦函数、正切函数的式子，这样才能便于利用三角函数的性质求最值.

二、利用二次函数的性质

对于含有偶次幂的三角函数式，可利用诱导公式、二倍角公式、辅助角公式将其化简为关于 sinx 、 cosx 、tanx 的二次函数式，然后将其配方，根据二次函数式的性质来求三角函数式的最值.对于 y = a2 x + bx + c（x ∈ R）的二次函数式，当 a <0时，函数图象的开口向下，函数有最大值;当 a >0时，函数图象的开口向上，函数有最小值.

解答本题，需先利用二倍角公式以及同角的三角函数式 sin2 x + cos 2 x =1将函数式化简为关于 cosx 的二次函数式，然后讨论二次函数的单调性，即可根据二次函数的单调性求得问题的答案.

例3.求函数 y =（sin x -2）（cos x -2）的最值.

分析：函数式中含有 sin x、cos x ，较为复杂，于是联想到同角的三角函数式 sin2 x + cos 2 x =1，于是令 sin x + cos x = t ，将目标式转化为关于 t 的二次函数式，便可利用二次函数的单调性和有界性求解.

在求較为复杂的三角函数最值问题时，可通过换元，构造二次函数式，将三角函数最值问题转化为二次函数最值问题，根据二次函数的性质来解题.在换元的过程中要注意确保定义域的等价性.

可见，求解三角函数最值问题，需熟练掌握正弦、余弦、正切、二次函数的单调性和有界性，这样才能顺利求得最值.