巧估算，妙解选择题

吴亚南

单项选择题是高考试题中常出现的一类题目.此类问题中一般会有4个选项，其中只有1个选项是正确的，且不要求提供详细的解题过程，只需选出正确的选项.有些单项选择题中的参数较多，有的给出的数值较大、项数较多，有的给出的条件较少，我们很难或者无法（或没有必要）通过精准的运算、推理得出正确的答案，此时可根据题目中的特殊要素、图形的性质、极限值等来进行估算，利用估算法来快速找到正确的选项，得出问题的答案.

一、借助特殊元素进行估算

有些单项选择题中涉及的参数、变量较多，问题的答案也不唯一，我们很难根据题意确定答案，此时可从特殊元素入手，结合题意寻找一些特殊值、特殊角、特殊点、特殊位置、特殊函数（或数列）、特殊图形等特殊元素，将其代入题设中进行求解，便可快速找出正确的选项.

例1.（2021年高考数学上海卷，第16题）已知x1 ， y1 ， x2 ， y2 ， x3 ， y3 为6个不同的实数，且满足① x1 < y1 ， x2 < y2 ， x3 < y3 ;② x1 + y1 = x2 + y2 = x3 + y3 ;③ x1 y1 + x3 y3 =2x2 y2 ，则以下选项中恒成立的是（  ） .

A.2x2< x1+ x3 B.2x2> x1+ x3 C. x22< x1 x3 D. x22> x1 x3

分析：题目中涉及了6个不同的实数，且需满足3个关系式，较为复杂.不妨根据已知条件选取并确定3个特殊值赋给 x1、x2、x3 ，再结合3个关系式确定另外3个实数y1、y2、y3 的值，进而通过估算来确定正确的答案.

例2. （湖南省三湘名校教育联盟2022届高三第二次大联考数学试卷，第7题）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派利用顶角为36°的等腰三角形研究黄金分割.如图1，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，∠ABC 的平分线交 AC 于 M，依此图形可求得 cos36°=（  ） .

分析：36°不是特殊角，通过三角函数恒等变换来进行计算，运算量大.而根据余弦函数的图象与性质，可确定cos36°与特殊角45°的三角函数值的大小关系，即可排除不符合要求的选项，进而得到正确的答案.

借助特殊元素进行估算，主要是利用一般到特殊的思想来解题.找到满足题意的特殊值、特殊角、特殊点、特殊位置、特殊函数（或数列）、特殊图形等特殊元素，将其代入题设中进行求解，即可找到适合一般情况的特殊情形.通过选取合适的特殊值，使题目条件与结论简化，便可减少运算，优化解题的过程.

二、根据图形的特征、性质进行估算

对于一些与图形有关的函数、三角函数、解析几何、平面向量、立体几何的单选项选择题，我们可从图形的特征、性质入手，根据函数、三角函数的图象，几何图形的性质来明确点的范围、直线与曲线的位置关系，通过估算来求得问题的答案.

例3.（2020年高考数学北京卷，第5题）已知半径为1的圆经过点（3，4），则圆心到原点的距离的最小值为（）.

A.4 B.5 C.6 D.7

分析：解答本题需抓住圆的几何性质：圆上任意一点到圆心的距离等于半径.该圆的圆心不确定，要确定圆心到原点的距离，需明确点（3，4）的位置.根据圆的几何性质可知，当点（3，4）离原点最近时，圆心到原点的距离最小.

解：由于点（3，4）到原点的距离为32+ 42=5，所以圆心到原点的最小距离为点（3，4）到原点的距离与半径之差，可得圆心到原点的距离的最小值为4，故本题应选择A选项.

例4.若坐标原点在圆（x - m）2 +（y + m）2=4的内部，则实数 m 的取值范围是（）.

解：因为（0，0）在（x - m）2 +（y + m）2=4的内部，则（0- m）2 +（0+ m）2< m <2 .本题应选C.

点 M（x0，y0）与圆（x - a）2 +（y - b）2=r 2的位置关系有三种：（1）若 M（x0，y0）在圆外，则（x0- a）2 +（y0- b）2> r 2; （2）若 M（x0，y0）在圆上，则（x0- a）2 +（y0- b）2 = r 2;（3）若 M （x0，y0）在圓内，则（x0- a）2 +（y0- b）2< r 2.本题中原点在圆的内部，所以根据（x0- a）2 +（y0- b）2< r 2，即可建立不等关系式，求得 m 的取值范围.

在解答与图形有关的问题时，要抓住线段、三角形、圆等平面几何图形的性质，以便根据图形中点、线、面的位置及其关系进行估算.这种解题方式比较简捷而且有效.

三、通过取极限值进行估算

在解答最值或取值范围问题时，常常可以通过分析极限情形，如变量趋近于+∞、-∞，几何图形趋近于简单基本图形，点在位置趋近于端点等来求得最大、最小值，从而求得问题的答案.

例5.设 A，B，C，D 是同一个半径为4的球的球面上的四点，△ABC 为等边三角形，且其面积为93，则三棱锥 D-ABC 体积的最大值为（）

解：当G 为△ABC 的重心时，S△ABC =93，可得 AB =6，取 BC 的中点 H ，AH = AB ?sin 60°=33， 则AG =2 3 AH =23，则三棱锥的高4< h <8，该球的球心不是此三角形的中心，所以13×93 ×4< V三棱锥D - ABC <13×93 ×8，即123< V三棱锥D - ABC

要确定三棱锥 D-ABC 体积的最大值，需确定三棱锥高的最大值.可根据三棱锥与外接球的位置关系，讨论三棱锥高的大小变化情况以及极限情形：球的球心是三角形的中心时三棱锥的高最大.

运用估算法解题，往往能减少运算量，降低解题的难度，尤其对于一些较为复杂的单项选择题，巧妙利用估算法，可以达到化难为易、化繁为简的效果.在运用估算法解答单项选择题时，需通过观察、推理、猜测、推算等方式分析题目，灵活运用转化与化归思想、一般到特殊的思想、数形结合思想来辅助解题.