如何构造辅助数列求数列的通项公式

焦云梦

构造法是解答数学问题的重要方法，也是解答复杂数列通项公式问题的常用方法.有些数列的递推式较为复杂，我们很难快速求得数列的通项公式，此时，可转换思考问题的角度，通过构造辅助数列，将问题转化为熟悉的等差或等比数列的通项公式问题来求解，这样能化难为易、化繁为简，使问题顺利得解.

一、引入参数，构造辅助数列

对于形如 an +1=pan + q （ p， q 为非零常数）的递推式，可引入参数 t ，将递推式转化为 an +1+ t =p（an + t）的形式，通过对比系数，求得 t 的值，便可构造出等比数列{an + t}，根据等比数列的通项公式求得数列{an + t}的通项公式，即可得到数列{an }的通项公式.

例1.在数列{an }中，a1=1，an +1=2an +5，求数列{an }的通项公式.

解：设 an +1+ t =2（an + t），

得 an +1=2 an + t ，

由an +1=2an +5得 t =5，

则数列{an +5}是以 a1+5=6为首项，2为公比的等比数列.

可得 an +5=6?2n -1，所以 an =3?2n -5.

仔细观察递推式 an +1=2an +5，可知数列{an }既非等差数列，又非等比数列，形如 an +1=pan + q ，于是引入参数 t ，构造出等比数列{an +5}，即可根据等比数列的通项公式解题.

例2.（2020年全国Ⅲ卷理科，第17题）已知数列{an }中，a1=3，an +1=3an -4n ，求数列{an }的通项公式.

解：设 an +1+p（n +1）+ q =3（an +pn + q），

化简得，an +1=3an +2pn +（2q -p），

由an +1=3an -4n 可得，{，0，

解得{，

所以数列{an -2n -1}的每一项都为0，可得 an -2n -1=0，所以 an =2n +1.

此题中的递推式形如 an +1=pan + qn，需引入两个参数，以便构造出新数列{an -2n -1}，通过求{an -2n -1}的通项公式，间接求得数列{an }的通项公式.

二、通过取倒数，构造辅助数列

对于形如 an +1= （ p， q， r 为非零常数）的递推式，在求数列的通项公式时，需在递推式的左右同时取倒数，得到-?= ，然后引入参数 t，将其变形为+ t =?+ t 的形式，从而构造出辅助数列{+ t}，通过求数列{+ t}的通项公式求得数列的通项公式.

例3.

例4.已知数列{an }中，a1= ， an = ，求数列{an }的通项公式.

解：

观察题中所给的递推式 an + 1 = 2an an + 2 ，可以发现，等式右边的分子、分母中均含有 an ，且分母较复杂，于是在递推式的左右同时取倒数，以便将右边的分式分离成整式和分式，从而构造出等差数列 { } 1 an ，最后根据等差数列的通项公式求解即可.

例4

解：

该递推式形如 an + 1 = pan qan + r ，在其左右同时取倒数，即可构造出等比数列{ } 1 an + t ，便能根据等比数列的通项公式来解题.

三、通过取对数，构造辅助数列

一般地，当遇到 an = par n （r 为常数，r ≠ 0）型的递推式时，可以在递推式的左右两边同时取对数，将其转化为 lg an + 1 = r lg an + lg p 的形式，然后引入参数 t， 将其变形为 lg an + 1 + t = r（lg an + t） ，从而构造出辅助数列 {lg an + t} ，求得辅助数列 {lg an + t} 的通项公式，即可求得数列{an} 的通项公式.

例5

解：

将递推式移项后，可发现 an + 1 - 1等于 an - 1的平方，于是在递推式的两边同时取对数，便可构造出等比数列{lg（an - 1）}，从而顺利求得数列{an}的通项公式.

四、除以一个数（式），构造辅助数列

对于递推式中含有anan + 1的数列通项公式问题，可以考虑在递推式的左右两边同时除以anan + 1，构造出辅助数列{ } 1 an ，将问题转化为求数列{ } 1 an 的通项公式.

例6

解：

该递推式中出现了anan + 1 ，于是在递推式的两边同时除以anan + 1 ，即可构造出等差数列 { } 1 an ，根据等差数列的通项公式求解即可.

对于 an + 1 = pan + qr n （p，q，r为非零常数）型的递推式，在求数列的通项公式时，往往可以在递推式的左右两边同时除以 r n + 1 ，得到 an + 1 r n + 1 = p r ? an r n + q r ，然后引入参数 t，将其变形为 an + 1 r n + 1 + t = p r ? ? è ? ? ? ÷ an r n + t 的形式，这样便构造出辅助数列 { } an r n + t ，根據等比数列的通项公式或利用累乘法，即可求得数列的通项公式.

例7

解：

在递推式 an + 1 = 3an + 3?2n 的左右同时除以 2n ，即可构造等比数列 { } an 2n + 3 ，根据等比数列的通项公式求得其通项公式，即可解题.

可见，对于较为复杂的递推式，运用构造法求数列的通项公式比较奏效.而运用构造法解题，往往需仔细研究数列的递推式，将其进行合理的变形，如引入参数、取倒数、取对数、除以一个数（式），以便构造出辅助数列，通过求辅助数列的通项公式，间接求得数列的通项公式.