由一道四点共圆问题引发的思考

刘晖

四点共圆问题的常见命题形式是：（1）根据已知条件，判断四点是否共圆;（2）根据已知条件，证明四点共圆.这类问题的运算量较大，求解过程较为繁琐，通常需灵活运用直线的方程、直线的斜率，圆的定义、圆的方程、圆的性质、弦长公式，一元二次方程的韋达定理、判别式等来求解.本文结合2021年湖南师大附中5 月联考的第22题，谈一谈四点共圆问题的解法.

题目：

第一个小问题较为简单，只需设出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立，构造一元二次方程，根据韦达定理和判别式进行求解即可.这里主要讨论第二个小问题的解法.需先画出如图所示的图形，以便明确点、直线、椭圆的位置及其关系，再结合题意来寻找解题的思路.

思路一：利用圆的相交弦定理

我们知道，有关圆的性质、定理很多，其中用得较多的有垂径定理、相交弦定理.相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等.解答四点共圆问题时，可根据题意找到两条相交弦，分别求得其线段的长，根据相交弦定理建立关系式，即可判断四点是否共圆.

解法1

解答本题，需根据圆的相交弦定理得到关系式 AN2 = CN?ND ，建立关于k的关系式，再根据方程的性质求得 y0 的值.在求得两条相交弦的弦长时，需用到弦长公式和两点间的距离公式.

解法2

解答本题主要运用了圆的相交弦定理，得到关系式 NC ? ND = NA ? NB，然后根据直线的方程和韦达定理表示出该式，建立关于 λ和k 的方程，便可获解.相对解法1而言，解法2的计算量有所减少.

解法3

过点 （x0，y0） 、倾斜角为 α 的直线的参数方程为 {x = x0 + t cos α， y = y0 + tsin α，其中t表示直线 l 上以定点M0 （x0，y0） 为起点，任意一点M（x，y）为终点的有向线段∣M0M∣的长. 若直线 l 上两点A、B所对应的参数分别为tA、tB，则A、 B两点之间的距离为 |AB| = |tA - tB|. 在解答四点共圆问题时，可将四点连接起来，用直线的参数方程的几何意义来表示圆的相交弦长，便可根据圆的相交弦定理建立关系式，求得问题的答案.

思路二：构建圆系方程

圆系方程是一种特殊的方程.在解析几何中，符合某些特定条件的圆构成一个圆系，一个圆系有共同的方程称为圆系方程.例如，经过直线 Ax + By + C = 0与圆 x 2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 的交点的圆系方程可表示为 x 2 + y2 + Dx + Ey + F + λ（Ax + By + C）=0. 在解答四点共圆的问题时，可根据题意找到圆的共同点，据此建立圆系方程，进而判断四点是否共圆.

解：

解答本题，需根据直线AB与CD有交点建立二元二次方程，根据 A、B、C、D 四点共圆建立圆系方程，得到关于k、λ 的方程，求得 y0的取值范围. 这种解法的特点在于思路新奇，计算量比较小.

由此可见，解答四点共圆问题，需从圆的方程、性质入手，构建圆系方程，利用圆的相交弦定理来求解. 值得注意的是，四点共圆问题的难度较大，运算量也较大，同学们在解题时要谨慎计算，避免出错.