2022年全国甲卷导数题的多解、变式与溯源

张君　李武学

摘 要：从构造函数与减元的角度给出2022年高考甲卷导数压轴题的多种解法，并给出该考题的变式以及考题溯源.

关键词：2022年数学高考;导数题;一题多解;考题溯源

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2022）22-0075-04

1 试题呈现

试题 （2022年高考全国甲卷21题）已知函数fx=exx-lnx+x-a.

2 试题分析

这道题综合考查利用导数研究函数的最值，再利用单调性与极值求给定条件下参数的取值范围，在此基础上研究两个零点之间的关系，是典型的极值点偏移问题.试题起点较低，绝大多数学生都可以拿分，但落点很高，第二问难度大，需要考生熟练掌握函数的有关性质，以及研究有关性质的基本方法和工具，并达到灵活运用的程度.对数学思想方法的考查也占很大成份，特别是对分类计论思想和转化思想的要求很高，只会死记硬背、按套路做题不会变通的考生是做不下去的.

极值点偏移问题的解题大方向主要有两个：构造对称函数和减少变量转化为一元函数问题.

点评 极值点偏移问题主要有两种基本类型，即x1x2大于（或小于）常数a，以及x1+x2大于（或小于）常数a.构造函数gx=fax-fx（或gx=fa-x-fx）是解这类题的一种常用方法，这种解法的目的是得到不等式f1x24 变式

由对数平均不等式x1x22.于是得到如下的变式题：

本题是极值点偏移问题，由对数平均不等式可知lnx1-lnx2x1-x2<1x1x2=1.

参考文献：

[1]邓启龙.函数极值点偏移和拐点偏移问题的探究[J].数理化解题研究，2022（13）：37-39.

[2] 黄小妹.如何破解极值点偏移问题[J].数理化解题研究，2021（04）：7-8.

[3] 李鸿昌.一道新高考导数压轴题的解法探究[J].高中数学教与学，2021（15）：22-23.

[责任编辑：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者简介：张君（1978.10-），男，四川省宣汉人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

李武学（1966.5-），男，四川省沐川人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.