“宝藏的位置”问题中的秘籍

卞娜

提出问题

乔治·伽莫夫是一位出生于俄国的美籍物理学家，在其所著的《从一到无穷大》中，有一段小故事引出了一个经典的数学问题：

从前，有一个爱冒险的年轻人，在曾祖父的遗物中发现一张羊皮纸，上面写着：

乘船至北纬××，西经××，即可找到一座荒无人烟的小岛. 岛的北岸有一大片草地. 草地上有一株橡树和一株松树，还有一座绞架. 从绞架走到橡树，记住走了多少步. 到了橡树后向右拐个直角，再走同样的步数后，在这里打个桩.回到绞架，朝松树走去，也记住所走的步数. 走到松树后向左拐个直角，再走同样的步数后，在这里也打个桩. 在这两个桩的中间挖下去，就能找到宝藏.

这位青年租了一条船开往目的地，果然发现了荒岛，也找到了岛上的橡树和松树. 但令他大失所望的是，绞架无影无踪，不知去向. 年轻人陷入了绝望，在地上乱挖起来. 但是，地方太大了，一切努力只是徒劳. 他只好两手空空，启帆回程.

其实，这位冒险家若能仔细思考，就能获得宝藏. 因为埋藏宝藏的地点只依赖于橡树和松树的位置，与绞架的位置根本无关！

大胆猜想

如图1，点A，B分别表示松树和橡树，点C表示绞架原来的位置. 从点C出发往点A走，左转90°后再走相同的长度，所到之处记为点D. 换句话说，AC = AD，且∠CAD = 90°. 然后，从点C出发往点B走，右转90°后再走相同的长度，所到之处记为点E. 换句话说，BC = BE，且∠CBE = 90°. 连接DE，DE的中点M就是宝藏的位置.

点M好像会和A，B两点构成等腰直角三角形. 若此猜想成立，则表明点M的位置由A，B两点的位置确定，与点C的位置无关！下面就对这个猜想进行验证.

验证猜想

思路点拨：要证△ABM是等腰直角三角形，结合已知条件“点M是DE的中点”，可采用“倍长中线法”，即延长AM至点N，使MN = AM，连接BN， 易证△AMD≌△NME.

下面只需證明△ABN是等腰直角三角形即可，这就需要证明△ABC≌△NBE，难点在于证明∠ACB = ∠NEB. 观察这两个角的两边，我们发现其中一条边BC，EB互相垂直，联想“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补”，可以大胆猜测∠ACB与∠NEB的另一条边AC与EN也必然互相垂直. 于是想到延长AC，交EN的延长线于点F.

如图2，易证NE = AD = AC，∠ADM = ∠NEM.

∴AD[?]NE. ∴∠F = ∠DAC = 90°.

∵∠CBE = 90°. ∴∠F + ∠CBE = 180°，

∴∠BCF + ∠BEF = 180°.

∵∠ACB + ∠BCF = 180°，∴∠ACB = ∠BEN.

∵BC = BE，AC = NE，∴△ABC≌△NBE，

∴AB = NB，∠ABC = ∠NBE，

∴∠ABN = ∠ABC + ∠CBN = ∠NBE + ∠CBN = ∠CBE = 90°.

∴△ABN是等腰直角三角形. 又∵AM = MN，∴△ABM是等腰直角三角形.

归纳总结

宝藏的位置仅与橡树和松树的位置有关，而与绞架的位置无关. 点C可以移到整个平面上的任意位置，甚至可以移到线段AB上，点M的位置仍然不变. 也就是说，只要以点A，B以外的任意一点（点A，B除外）作为绞架的位置，就一定能找到宝藏. 同学们可以尝试一下图3中的七种情形. 其实，这个寻宝问题只不过是一个与定点有关的几何游戏而已！

[A][B][E][M][D][C][E][M] [D][A][C][B] [B][C][A][D][M][E][B][C][D][A][M][E] [D][B][A][C][E][E][M][D][A][C][B][B][A][D][C][M][E]

（作者单位：山东省胶州市瑞华实验初级中学）