运用矩形折叠的特征解题

刘顿

根据折叠的特征，发现已知量和未知量之间的内在联系，再根据勾股定理构造方程，运用转化、方程、分类等思想求解，是解决矩形折叠问题的常规思路.

一、求线段的长

例1 （2021·贵州·毕节）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB = 7，BC = 9，M是BC上的点，且CM = 2. 将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点C'处，折痕为MN，则线段PA的长是（ ）.

A. 4     B. 5     C. 6     D. 2[5]

解析：如图2，连接PM，设AP = x，

可得出PB = 7 - x，BM = 7，

根据折叠的性质可得CD = PC'= 7，CM = C′M = 2，

在Rt△PBM中，PB2 + BM2 = PM2，∴PM2 = （7 - x）2 + 72，

在Rt△PC′M中，C′P2 + C′M2 = PM2，∴PM2 = 72 + 22，

∴（7 - x）2 + 72 = 72 + 22，解得x = 5，∴AP = 5.

故选B.

二、求图形的面积

例2 （2021·黑龙江·鹤岗）在矩形ABCD中，AB = 2 cm，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点B与点D重合，折痕与直线AD交于点E，且DE = 3 cm，则矩形ABCD的面積为 cm2.

解析：第一种情况：如图3，由折叠可知BE = ED = 3 cm.

在Rt△ABE中，AB2 + AE2 = BE2，∴22 + AE2 = 32，解得AE = [5]，

∴AD = AE + ED = （[5] + 3）cm.

第二种情况：如图4，AD = ED - AE = （3 - [5]）cm，

∴S矩形ABCD = AD·AB = （2[5] + 6）cm2或（6 - 2[5]）cm2.

故应填2[5] + 6或6 - 2[5].

三、分析图形的形状

例3 （2021·江苏·盐城）如图5，在矩形ABCD中，AB = 3，AD = 4，E，F分别是边BC，CD上一点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得△EC′F，连接AC′，当BE = 时，△AEC′是以AE为腰的等腰三角形.

解析：根据题意，需分两种情形：

设BE = x，则EC = 4 - x，由翻折得EC′ = EC = 4 - x，

当AE = EC′时，AE = 4 - x，由矩形ABCD，得∠B = 90°，

在Rt△ABE中，由勾股定理，得32 + x2 = （4 - x）2，解得x = [78].

当AE = AC′时，如图6，作AH⊥EC′，垂足为H，

∵EF⊥AE，∴∠AEF = ∠AEC′ + ∠FEC′ = 90°，∴∠BEA + ∠FEC = 90°.

∵△ECF沿EF翻折得△EC'F，∴∠FEC′ = ∠FEC，∴∠AEB = ∠AEH.

∵∠B = ∠AHE = 90°，AH = AH，∴△ABE≌△AHE（AAS），∴BE = HE = x.

由“三线合一”可得EC′ = 2EH，即4 - x = 2x，解得x = [43].

综上所述，BE = [78]或[43].

故应填[78]或[43].

分层作业

难度系数：★★★★     解题时间：10分钟

（2021·青海）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用如下方法：

操作感知：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图7①）.第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使得折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图7②）.

猜想论证：（1）若延长MN交BC于点P，如图7③所示，试判定△BMP的形状，并证明你的结论.（2）在图7③中，若AB = a，BC = b，当a，b满足什么关系时，才能在矩形纸片ABCD中剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP？

[D][F][C][E][A] [B][①][D][F][C][E][A] [B][M][N] [②][D][F][C][E][A] [B][M][N] [P] [③][图7]

（作者单位： 江苏省盐城市射阳县阜余中学）