例析v-t图像求解运动学问题

摘 要：本文从四道例题入手，通过常规解法和v-t图像解法的对比分析，帮助学生深刻理解v-t图像解法的优势所在，并归纳利用此种解法解决问题的一般步骤.

关键词：常规解法;v-t图像;运动学

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2022）22-0125-03

v-t图像是运动学中最常见的图像，它在描述物体运动方面具有不可替代的作用.因此在处理某些与物体运动相关的复杂问题时，我们可以转换思维，作出物体运动的对应的v-t图像.观察图像中的斜率（描述加速度的大小和方向）、面积（描述运动位移的大小和方向）、截距、交点等相关物理量，并结合相应的数学运算即可较为容易的获取正确的结果，从而可以免除复杂的物理分析过程.

例1 如图1所示，水平行驶的汽车通过长度为20m的斜坡AB后继续水平行驶，整个过程中，车厢底板上的塑料箱相对于车厢前端向后滑行的距离为d（塑料箱与车厢壁无接触），汽车上坡过程中，塑料箱的加速度a=15μg（μ为塑料箱与车厢底部的动摩擦因数），整个过程中汽车的速率始终为v0，不考虑车长的影响，重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是（）.

A.若v0越大，则d越大

B.若v0越大，则d越小

C.若v=20m/s，d=0.6m，则μ=0.5

D.若v=20m/s，d=0.6m，则μ=0.6

解析

方法一 常规解法（略）

方法二 v-t图像解法

以地面为参考系，汽车做匀速直线运动，塑料箱在斜面上做初速度与汽车速度相同、加速度a=15μg的匀减速运动，运动到水平面后，在车厢滑动摩擦作用下做加速度a=μg的匀加速运动，直至与汽车共速，相对运动过程结束，设汽车速度为v0，做两者v-t图像如图2所示，其中t0表示汽车在斜面上运动的时间t0=Lv，三角形面积代表汽车与塑料箱间的相对位移，当车速v0增大时，汽车在斜面上运动时间t0减小，在v-t图像中BC向左移动，两者间的相对位置由三角形ABC面积变为三角形ADF，可以容易看出相对位移d变小，故选项A错误，B正确.

设运动到斜面顶端塑料箱的速度为v1，v1=v-at=v-15μgt0，其中t1=1.2t0故三角形ABC面积d=12（v-v1）·t1=3μgL225v2，带入题干数据可得μ=0.5，故选项C正确，D错误.

点评 本题还可以以车为参考系，画出塑料箱在运动过程中的v-t图像，塑料箱在斜面上相对汽车向后做匀加速直线运动，在水平面上先相对汽车做匀减速直线运动，最终相对汽车相对静止，如图3.△AOB面积代表塑料箱相对汽车向后运动的位移，当v增加时，相对汽车加速运动时间变小，△AOB面积变小，相对位移d减小.

例2 如图4所示，光滑水平地面上有一长度为L=2.4m、质量为M=2kg的长木板，木板左端有一质量为m=1kg的物块（可看作质点），物块与木板之间的动摩擦因数为μ=0.2.初始时物块和木板均静止，给物块施加一大小为F=5N、方向水平向右的拉力，重力加速度g=10m/s2，若保证物块能够滑离木板，求拉力作用的最短时间.

如图5，为保证物块能够滑离木板应满足S△OAB≥L，即S△OAB=S△AOC+S△ABC=12Δv（t0+t1-t0）=53t20，代入数据可得t0≥1.2s，与第一种解法结果一致.

点评 解法一是此类问题最常见的解法，通过对运动过程的分析列取相应的四种不同的方程.在实际教学中发现，部分学生无法彻底的分析清楚物理过程，部分学生能够弄清物理过程但在列取方程的过程中不知如何下手，因此出现了很多失分的情况.v-t图像的解法利用直线相交的数学关系计算求解，过程简单容易理解，可以很好的提升学生解题的准确率.

例3 A、B两车相距x=23m，A车在后，B车在前.计时开始时，A车正以2m/s的速度向右做匀加速运动，B车以10m/s的初速度向右做匀减速运动，两车加速度大小均为a=2m/s2，求：

（1）A车追上B车前，两车的最大距离;

（2）A车追上B车所用的时间

做A、B物体运动的v-t图像，如图7，根据图像可以容易看出5s后B车静止.图线与横轴围成图形面积表示物体运动位移，所以0-5s时间内，A车位移sA=12×5×10=25m，B车位移sB=（2+12）2×5=35m，又因sB+x=25m+23m=48m>35m，B车先停止，A車后追上.设追上时间为t0 ，对应物体的速度v=2+2t0，该过程B物体位移sB=12（2+2+2t0）t0=t20+2t0为使A车追上B车，应满足位移关系sA+x=sB，代入数值可得t0=6s或t0=-8s（舍去）.

例4 在足够大的空间里有一沿x轴方向周期性变化的匀强电场，如图8（b）所示.规定沿+x方向为电场正方向如图8（a）.一质量为m，电荷量为q的正粒子，t=0时刻在电场中x轴负半轴上的A点由静止释放.电场中经过n个周期正好到达y轴，求A点到y轴的距离.不计粒子重力.

粒子在每个周期的前半周期加速度大小a1=3qE0m，粒子在每个周期的后半周期加速度大小a2=qE0m，做粒子运动的v-t图像如图9所示.通过观察图像可知前n个周期内运动带电粒子运动的总位移应该等于各个周期内图形面积的总和，同时还能发现带电粒子相邻两个周期内运动的位移差等于图形中四边形ABCD的面积.

点评 带电粒子在交变电场中运动时，由于电场变化具有一定的周期性，因此粒子的运动会呈现一定的规律.通常情况下需要列举出前几周期的位移和速度，通过观察物理量的变化，归纳出运动的规律，最终利用规律进行计算求解，此种解法要求学生具有较好的的计算能力和较强的归纳总结能力，在实际的教学中发现存在较高的错误率.利用v-t图像处理此问题时，可以直观的呈现出物体的速度和位移的变化，可以降低思维的难度，提高解题的正确率.

综上所述，用v-t分析物理问题时可以将物理过程形象且直观的呈现出来，有助于学生明确物体的运动过程，还可以将物理方程变成比较简单的数学运算，有助于节省学生时间并提高解题的准确率.因此在日常处理一些比较繁琐的运动学相关问题时可以考虑做出对应的v-t图像，再结合物理量间的函数关系进行分析求解.

参考文献：

[1]人民教育出版社，课程教材研究所，物理课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书·物理[M].北京：人民教育出版社，2010.

[责任编辑：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者简介：谢汝成（1986.1-），男，本科，中学一级教师，从事高中物理教学研究.