认识随机，把握生活

摘要：《醉汉的脚步——随机性如何主宰我们的生活》这本书既像一部精彩纷呈、跌宕起伏的好莱坞大片，又是一部回味悠长、发人深思的概率论科普著作，更是“跨学科综合与实践”案例的丰富呈现。阅读这本书，可以充分感受到：世界既是确定的，又是随机的%直觉常常是不可靠的，逻辑始终是无疑的;通过生动的故事，可以领悟概率论的核心概念、基本思想。由此启示概率与统计的教学，让学生更多地接触自然界甚至人类社会中的大量案例，从随机性的角度，用数学的方式观察、思考、表达，向学生渗透由案例体现的深刻的概念本质、思想方法，特别是关于平均数、用频率估计概率、因果关系与相关关系、条件概率与全概率公式等的概念本质、思想方法。

关键词：《醉汉的脚步》随机与生活;概率与统计;科普;教学

两年前，北京师范大学统计学院赵楠教授推荐了《醉汉的脚步——随机性如何主宰我们的生活》这本书，我即刻被它吸引。这两年常常看、反复看，每次都有新的收获。下面，先概述这本书的内容，再分享我阅读这本书的感悟。在此基础上，谈谈对概率与统计教学的一些思考。

一、内容概述

可以这样说，这本书既像一部精彩纷呈、跌宕起伏的好莱坞大片《醉汉的脚步》，又是一部回味悠长、发人深思的概率论科普著作《随机性如何主宰我们的生活》。

说其像好莱坞大片，是因为作者做过好莱坞大片的编剧，特别会讲故事，讲的故事很生动、画面感很强。就算是门外汉，也容易被故事的构思、情节所吸引，不知不觉地深人随机性的世界中，在作者的娓娓道来中感受什么是随机、如何认识随机、如何理解随机、如何解释随机，辩证看待随机与确定的关系。

说其是概率论科普著作，是因为这本书讲述的是概率论的核心概念、基本思想和重要方法，以及它们发生和发展的脉络。作者通过极其简单的计算、易于理解的推理，表达随机、解释随机，融随机性于生活的诸多方面，给我们提供关于自然界甚至人类社会的世界观和方法论，教我们如何透过随机性的目镜审视世界。

也完全可以说，整本书就是“跨学科综合与实践”案例的呈现，书中的案例来自生活的方方面面。

毫不夸张地说，这是目前我看到的最好的一本概率论科普著作。它是部经典，很难超越，只会历久弥新。虽然具有高中程度的概率知识就能看懂这本书，但是完全理解需要一定的时间和过程。讀懂这本书，定能真正认识随机，并能让有关内容的教学更生动、深刻。

这里顺便说一下作者列纳德·蒙洛迪诺。他是理论物理学家（看过很多数学科普著作后，我想很多人可能会有这样的印象：理论物理学家的数学科普著作往往比纯粹数学家的数学科普著作更生动、深刻'任教于美国加州理工学院。他经历丰富，著述颇丰，有《欧几里得之窗——从平行线到超空间的几何学故事》《思维简史——从丛林到宇宙》等，并与霍金合著《时间简史（普及版）》。这些书都值得读一读。

二、阅读感悟

（一）世界既是确定的，又是随机的

学习任何一门学科都需要一定的世界观、方法论，都需要关于这门学科的认识论，学习概率与统计尤其如此。与代数、几何研究数、形不一样，概率与统计研究随机现象，处理随机数据，尽管方法是演绎的，但推断过程是归纳式的。这与代数、几何是完全的演绎科学有很大的不同。所以，认识概率与统计的哲学基础既是重要的，更是必需的。

观察世界、表达世界、思考世界、解释世界，是人类认识世界的具体表现。正如《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》和《义务教育数学课程标准（2022年版'中提到的“三会）会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。看待现实世界的视角是多元的，而且是随着时空变化的，很难有绝对一成不变的视角，也很难有随时随地变化的视角。视角具有一'定的确定性，也有一'定的随机性。整体上可以认为，确定性是主旋律，但随机性又不可或缺。

偶然与必然、原因与结果，是唯物辩证法的研究范畴，也是我们认识现实世界确定性与随机性的最大视角。

回顾科学史，我们不难发现，因果关系的决定论是牛顿时代的产物。拉普拉斯对其进行了提炼和升华，他的“决定论”是这样表述的！世界的当前状态，精确地决定了它未来的发展方向。假如一个智能体，在一个给定的时刻，知道了所有使世界运行的力，以及世界的每一个组成体的位置;进一步地，如果该智能体足够强大，以至能对这些数据进行分析，它就可以用同一个方程将宇宙中最大之天体及最小之原子的运动皆囊括其中：对于这个智能体而言，没有什么是不确定的，而未来就如同过去一样，呈现在它的眼前。”而我们知道，真正促使拉普拉斯作出这一番表达的恰恰不是决定论，而是随机性。那时的科学家强烈地感受到随机在科学观察、科学实验中的巨大作用以及人类自身认识的局限。正如这本书所述：

如果将决定论应用到我们的日常生活中，那么它意味着我们将生活在这样一个世界：在这个世界上，个人的素质以及任何形势或环境的性质，都将以直接而毫不含糊的方式导致精准的后果。这是一个有序的世界，其中的任何事情都能被预见，并能通过计算求得。但拉普拉斯的梦想要成真，必须满足几个条件。首先，自然定律本身必须能够给出一个确定的未来，而且我们必须掌握这些定律。其次，我们必须获得那些完全描述了我们感兴趣的系统的数据，而且不允许有任何不可预见的因素。最后，我们必须有足够的智慧或计算能力，能根据已知的数据描述现在的数据，能通过定律计算它所确定的未来是何等模样。①

统计学家C.R.劳从另外一个角度阐释对确定性与随机性的理解：“如果世界上的一切都是确定的，这个世界会是索然无味的;相反，正是充满随机性，这个世界才具有多样性，人类的生活才丰富多彩。”同样地，这本书中有如下表述！

在回顾生命中那些重大事件的细节时，我们不难发现这类看似无足轻重却导致巨大改变的随机事件的存在。

与人类自身和人类社会有关的决定论，无法满足那些拉普拉斯暗指的可预测性所需的条件。之所以如此，原因有以下几点。首先，就目前所知，人类社会不像物理学那样，由明确而基本的定律主宰。恰恰相反，人类的行为正如卡尼曼和特沃斯基一再证明的那样，不仅无法预测，而且（从行为违背自身最大利益的意义上来说）常常是非理性的。其次，即使我们能够像凯特勒所希望的那样，发现主宰人类活动的定律，我们也不可能精确获知或控制生活中的各种因素。也就是说，我们跟洛伦兹一样，无法得到预测所需的精确数据。第三，与人有关的事情是如此复杂，因此，哪怕我们真的了解了这些定律，获取了这些数据，能否完成必要的计算也是存疑的。因此，决定论对于人类活动而言，是一个很糟糕的模型。或者按诺贝尔奖获得者马克斯·玻恩的话来说：“相比于因果性，偶然性是一个更加基本的概念。”

“醉汉的脚步”是随机过程的科学研究中所使用的一个基本模型。不过，它同样为我们的日常生活提供了合适的模型，因为就像悬浮在布朗流体中的花粉微粒那样，我们也不断地被随机事件推动，先是走向这个方向，然后又通往那个方向。虽然我们在社会学数据中可以发现统计规律，但是对于某个具体的个人而言，未来仍然是无法预测的。对于某个具体的成就、工作、朋友或财政状况等，机遇所占的功劳比许多人能认识到的还要大。接下来，我将进一步说明，现实生活中除了一些最简单的情势，我们都无法躲开那些不可预见或无法预测的力量。正是这些随机力量的影响，以及我们对它们作出的反应，塑造了我们大部分的生命之路。！

（二）直觉常常是不可靠的，逻辑始终是无疑的

我们来看这样一个问题：连续抛掷一枚质地均匀的硬币6次，出现下面哪一种情形的概率比较大？“反反反反反反”“正反反正反正”。我相信，很多人的直觉告诉他们，每次都出现反面的机会太小了，而出现“正反反正反正”的机会要大一些——尤其是后者出现正面、反面的次数恰好各占一半。实际上呢？逻辑告诉我们，出现两种情形的概率都是"，也就是机会相等。

上述问题告诉我们，直觉（经验）常常与逻辑冲突，尤其是在认识随机时。正如英国数学家Kapadia指出的那样：“在概率论中，无论是概念还是比较简单的应用，到处都有令人困惑不已和违背直觉的说法。”"

逻辑始终是无疑的，而直觉（经验）常常并不可信，这是一条颠扑不破的永恒真理。因此，必须用逻辑来认识随机，只有这样，才能使我们更好地纠正直觉（经验），更理性地把握随机。正如作者在这本书前言中所述：

人类的直觉不适合处理涉及不确定性的情势，这一事实迟至20世纪30年代就已为人所知。当时，研究者发现，人们既不能构造一个通过随机性检验的数列，也不能可靠地分辨某个给定数列是否是随机的产物。一个新的学术领域在过去几十年里逐渐浮出水面。这个领域研究的是，当信息不冗整或不冗美时，人们如何进行判断与决策。研究证明，一旦偶然性牵涉其中，人们的思维处理通常就会表现出严重的缺陷。这些研究工作综合了许多学科，如数学与传统科学，乃至认知心理学、行为经济学以及现代神经科学。?

拖着人类的直觉破浪前行，是一件困难的事。人类大脑本来的设计，就是要给每一事件找出确定的理由，因此它难以接受无关或随机因素造成的影响。要克服这一困难，我们首先就要认识到，成败有时并非来自过人的能力或无能，而是来自如经济学家阿尔钦所说的“幸运的环境”。随机过程就本性而言非常普通，在日常生活中也无所不在，但大多数人并不了解它，或者很少想到它。④

回憶我们学习随机、经历随机的过程，相信很多人都有过这样的体会：直觉的随机并不是真正的随机，只有理性化，付诸逻辑，才能真正认识随机;让理性的随机战胜本能的认识并不容易，要将错误的原始直观转化科学的二阶直观'，这是一个长期的过程。

（三）通过生动的故事，领悟概率论的核心概念、基本思想

数学来源于生活，又应用于生活，概率论尤其如此。生活（现实）就是一个个故事，因此，科普作者（数学教师也是如此）要用通俗、生动的语言讲好关于数学来源与应用的生活故事，使原本冰冷的形式表达、枯燥的符号运算变为引人人胜的火热思考，让读者（学生）沉浸其中，感悟本质规律，体会思想方法。

讲好故事是本事，会讲故事的人是真正的“使人明白的明白之人”：要想让读者（学生）明白，首先必须自己明白;只有把读者（学生）讲明白了，才说明自己真正明白了。很多读者（学生）之所以不明白，在很大程度上，可能是作者（教师）自己没有真正明白，没有讲好属于读者（学生）也属于自己的故事。

这本书中，关于概率论（随机性）的生动故事比比皆是，包括作者对自己家庭生活跌若起伏的描述。这里仅举两例。

一是“数学期望的故事”

20世纪60年代中期，一名90多岁高龄的法国妇女让娜·卡尔梅，因急需生活费而跟一个47岁的律师做了笔交易：她将自己的公寓低价卖给律师，律师则按月给她提供生活费，直到她过世。等到了那一天，她横着出去，律师竖着进来。律师肯定知道卡尔梅女士的寿命已超出法国人期望寿命达10年之多。不过，看来他大概并不了解贝叶斯定理，所以也不知道他所了解的这位女士在超过预期寿命的10年中去世的概率其实跟这笔买卖没啥关系，而真正跟买卖有关的，是在这位女士已经活到90岁的前提下，她的期望寿命大概还有6年。不过即便如此，律师也觉得这笔买卖不必担心会亏本。因为他相信，不管是哪个女人，如果她十来岁时就已经在父亲的店中遇见过文森特.凡高，那么他完全有理由相信，她跟凡高的再次会面一定用不了多长时间。

（据说该女士认为我们的大艺术家“邋里邋遢，穿衣没品，惹人讨厌”。）

果不其然，在10年后，律师不得不另找一处住所栖身，而让娜则用自己良好的健康状况庆祝了她的第100个生日。尽管这时她的期望寿命只有差不多2年，但靠着律师的奉养，她又度过了110岁的生日，而律师已经67岁了。再过10年，律师漫长的等待终于到了头，却是他没有猜中的结局。1995年，律师去世了，让娜还活着。她自己的那一日最终于1997年8月4日到来了，这时她已是122岁高龄，比律师的寿命多了整整45个年头。①

这个故事曲折动人，生动形象地说明了单个个体的期望寿命以及命运是无法被预计的。只有从大群体采集数据，并在大规模数据上进行总体分析，具有规律性的模型才会浮现出来。

二是“正态分布的故事”

正态分布描述了许多系统中，系统的表现围绕某中心值发生改变的行为方式，这个中心值就代表了系统最可能的输出值。在《概率的哲学导论》一书中，拉普拉斯声称，这个新的数学分支能用于评判法庭证言、预测结婚率、计算保险费等问题。

（拉普拉斯构想的继承和发扬者）凯特勒回到布鲁塞尔后，开始搜集和分析人口统计数据，并很快将注意力集中在法国政府于1827年开始发布的犯罪活动记录上……他不仅观察了数据的平均值，还仔细研究了它们与平均值之间的偏离情况。不管研究对象是什么样的，凯特勒都遇到了正态分布……他还发现一种现象，那就是一组数据的分布与正态分布之间的偏离，本身可能意味着一些不为人知的信息。在10万名年轻法国人的身高数据中，当把准备应征入伍的士兵的数量与他们的身高进行对比时，所得的钟形曲线是扭曲的：身高刚刚超过5英尺2英寸的人数比钟形曲线所预测的数量要少很多，而恰好小于这个身高的人数又太多了，就好像后者的出现是为了补偿前者的不足。凯特勒论述道，这多出来的约2200个“矮子”的差异，应该是造假或善意的捏造造成的，因为身高不到5英尺2英寸的人可以免服兵役。

几十年后，伟大的法国数学家亨利·庞加莱，用凯特勒的方法逮到一个欺骗顾客的面包师。庞加莱每天都要买一条面包，买回来后，他会给面包称一下重量，结果发现这些面包的平均重量大约为950克，而非广告中所称的1000克。他向管理部门投诉了此事。之后，他买到的面包变大了些。可他还是觉得有什么地方不太对劲。凭着只有著名学者或至少是获得了终身教职的人才有的耐心，他在接下来的一年中，每天都仔细地称量面包。尽管这些面包现在的平均重量十分接近1000克，但如果这个面包师的确是老老实实地随机挑出一条面包卖给他，那么比这个平均重量更重些或更轻些的面包，其数量应按误差定律的钟形曲线逐渐减少。可庞加莱发现，他的面包里偏轻的比例太少，而偏重的相应过多。庞加莱由此得出结论，那个面包师其实并没有停止制作缺斤少两的面包，只不过总是拿手头最大的一条面包打发他罢了。警察再次造访了骗人的面包师，据报道所言，他表现出可想而知的震惊，并不出所料地同意改正自己的行为。！

这些以数学史为脉络呈现的数学家故事不仅生动有趣，而且充分展现了正态分布是如何被发现的以及有什么用。

生动的故事使概率论的核心概念与规律、基本思想与方法的发生和发展脉络成为丰富实践（案例）大海、天空中的鱼儿、鸟儿，任意遨游、自由飞翔。我们不妨简单罗列一下故事支撑和串联起来的有关知识和历史！古典概型，事件的独立性，概率的加法与乘法;卡尔达诺，《机遇博弈》，样本空间，“三门问题”费马、帕斯卡，计数方法、数学期望;本福特定律，惠更斯、伯努利，大数定律与小数定律;事件的相关性，条件概率，假阳性、假阴性，先验概率、后验概率，贝叶斯公式;棣莫佛、拉普拉斯、高斯，二项分布，正态分布，中心极限定理;各朗特，威廉·配第，凯特勒，高尔顿，皮尔逊;统计，相关，回归，检验;费歇尔，显著性检验……

这些概率与统计的主要知识内容反映的主要思想方法是从卡尔达诺以来几百年人类智力活动的结晶。每個知识背后都是人类丰富的实践，都有讲不完的故事。学习这些知识的我们是幸运的，可以在一年甚至更短的时间跨越前人百年的艰苦探索。

读完这本书，你会发现作者的多面：故事大王，深厚的历史文化知识，幽默、诙谐且有时带点戏谵、调侃的语言表达，敏锐的观察，丰富的想象……以及极其理性的智者。当然，作为读者，感受随机与生活的关系，认识（理解）随机永远是第一位的。唯此，才能把握生活。毫无疑问，生活中有很多我们想控制但无法控制的事情，有些事情的发生是必然的，而有些是随机的。随机如影随形，虽然不确定，但是可以认识。在这个意义上，随机不是生活的主宰。相反，如果我们不能科学、准确、全面、客观地认识随机，随机真的就会主宰我们，使我们无法控制自己。就像高尔顿板上的一个个小球，尽管整体上小球的结局具有规律性，但是每个小球只能随着一次次撞击随机游走。我想，这可能就是作者给这本书起的副标题的“意有所指”之处：认识随机，不被它主宰。

需要指出的是，全面概括这本书，阐述阅读感悟，极其困难，几乎是不可能完成的任务，因为这本书字字珠玑、句句真经，完全表其主旨，只能全书照搬。真诚地希望无论是教师，还是大众，特别是高中及以上的学生，都来读读它。你肯定受益终生！

三、对概率与统计教学的启示

概率与统计都是研究随机的科学，概率研究随机现象，统计研究随机数据。两者之间有明显的不同：一般来说，概率是在总体概率分布已知的情况下，研究总体中样本的概率分布;而统计是在总体未知的情况下，通过抽样获得样本数据来估计总体中的参数或总体的概率分布。两者之间又有紧密的联系：概率理论的建立需要大量的统计事实，而用样本估计总体的统计方法需要在一定的概率意义指导下才能行之有效。从这个意义上说，概率与统计是不折不扣的“一枚硬币的正反面”——互相依存才能成为一个整体。

目前，统计与概率已成为基础教育阶段数学学科中同数与代数、图形与几何等并驾齐驱的主要内容。学生学习这部分具体知识并不困难，但要理解其思想方法，运用思想方法描述、解释自然界、人类社会的现象，并不容易。现实生活中，我们常常忽视随机的作用。这样的例子比比皆是。比如，运动员在一次比赛中取得超出平时的好成绩，是平时很少出现的结果在一次随机试验中发生了，而不是什么诸如神启、超人能力等因素的作用。同样，平时成绩很好、基础非常扎实的一位学生在一次考试中成绩不如意，但下次考试完全可能是另外一个结果，因为考试是对学生能力的一种测量，这种测量因为试题的不同、学生的发挥等随机因素产生不同的结果，而不是个人能力出了什么问题。

概率与统计研究的逻辑是定量化，工具是数学知识，通过运算、推理等获得结论。它处理的是生活中大量的实际问题（解释、预测现实情况，帮助人们作出决断），包罗万象，是一门不折不扣的“综合与实践”学科。因此，概率与统计的教学，除了利用教材中的标准例子帮助学生理解概念、巩固知识之外，还要让学生更多地接触自然界甚至人类社会中的大量案例，从随机性的角度，用数学的方式观察、思考、表达。基于教材，教师阅读此书，可以把其中的案例，特别是由案例体现的深刻的概念本质、思想方法，通过教学渗透给学生;学生阅读本书，可以开阔视野，加深对教材中知识内容的理解。

下面通过一些具体问题，说明概率与统计（主要是概率）教学中特别需要注意的概念本质、思想方法。

第一，关于平均数。计算平均数，无论算术平均数、几何平均数，还是加权平均数、调和平均数等，都不难。但是理解平均数的意义，需要经历较长的过程。

以算术平均数为例来说明。从运算的角度看，算术平均数就是数据求和除以数据的个数，学生在小学阶段就会计算，但是解释它的意义并不容易。很多人肯定会说，平均数是一组数的代表，表示数据的集中趋势。但进一步问：数据集中趋势的意义是什么？很多人可能答不上來。这需要一定的功底和深人的思考。我的理解是，要从代数、概率、统计三个角度认识它。代数角度：任何一个数据与平均数作差，所有差的代数和为0，这是它的代数意义。概率角度：一般来说，如果数据符合或近似符合正态分布，数据在平均数附近的可能性最大，这是它的概率意义。统计角度：数据与平均数的差的平方和最小，也就是平均数是由最小二乘法得到的;方差也是某种平均数，表示的是数据与平均数的“平均距离”。

第二，关于最大可能性与用频率估计概率。概率是随机事件固有的属性，无论是否能够求出，它的真值都是客观存在的。而且，在概率的意义下，任何事情的发生都是基于最大可能的。这是最基本的认识，是直观（经验'是基本事实，没法证明。例如，抛掷硬币100次，正面朝上出现0—100次都有可能。

已知或假定每次抛掷正面朝上的概率之后，100次抛掷正面朝上的次数及其概率可以用二项分布严格刻画。当抛掷次数越来越多，如1000次、10000次……时，二项分布逐渐趋近于正态分布。而且，直观（经验）告诉我们，每次抛掷正面朝上的概率是0，100次抛掷正面朝上的次数是50的可能性最大。

虽然概率是随机事件的固有属性，但是在很多（尤其是比较复杂的）情况下，我们无法通过数学模型推理、计算出其发生的概率。这时，根据概率的最大可能性意义，我们可以用频率估计概率。下面我们从一般性的角度看这个问题。在一次随机试验中，随机事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，随机事件A出现&次（0<々

同样地，在简单随机抽样中，我们常常讲样本的代表性，也就是每个个体等可能地被抽到。只有等可能地被抽到，才能保证样本的数据分布与总体分布相似的可能性最大。注意，此处说的是可能性。实际上，有抽到极端数据的可能性，也就是样本不具有代表性的可能性。

第三，关于大数定律与用频率估计概率。与概率的真值相比，用频率估计的概率有多接近呢？我们对这样估计得到的概率的正确性，又应该抱有多强的信念呢？这实际上是与之紧密相关的另外一个问题：我们的观测结果能以多高的准确度来体现造成这些结果的概率的真值呢？雅各布·伯努利认为，我们有理由期望，随着试验次数的增加，实际观测到的各种结果出现的频率，能越来越精确地体现概率的真值。那么，要通过观测结果估计概率，我们至少需要做多少次实验？我们对这样得到的结果的正确性，又抱有多大的把握呢？举一个简单的例子：

袋子里有100个除颜色外其他都相同的小球，其中白球60个，黑球40个。有放回地抽取100次。

（1）抽到58%—62%的白球机会有多大？59%—61%呢？

（2）如果是1000个或100万个小球，那么对结果的信任又能增加多少？

我们当然永远没办法100%确信这样做得到的结果，但是我们能否足够多次地抽取小球，从而有99.9999%的把握，保证抽到白色小球的比例在59.9%—60.1%之间？大数定律就是用来解决诸如此类的问题的。

在应用大数定律之前，我们需要做两个假设。首先，给定一个可容忍的误差范围。大量试验的结果与理论上的60%这一比例应该有多接近呢？我们必须指定一个接近的范围，比如60%±1%或2%或0.00001%。其次，必须明确对不确定性的容忍度。我们永远无法100%确定试验会给出我们想要的结果，但是我们有把握做到，比如在100次试验中获得99次满意的结果，或者在1000次试验中有999次结果是满意的。

大数定律指出，我们总能够通过足够多次地取出小球，保证几乎确定所得的白色小球比例接近60%，而不论“几乎确定”和“接近”的定义是何等严苛。而且，在给定了这个“几乎确定”和“接近”的具体数值后，大数定律还能给出用来计算这个“足够”次数的数学公式。当然，尽管大数定律能给出一个足以满足任何要求的置信度与准确度的试验次数，但这并不意味着不能通过更少的试验来达到同样的目标。

无论高中还是初中，教学“用频率估计概率”的内容时，教师都应引出上面这些问题，讲清楚上面的问题，哪怕不是完全的形式化、严密的推理，只是讲述其中的道理，从而让学生真正明白频率与概率之间这种随机、确定的关系。这个问题清楚了，概率与统计最基本的思想方法就豁然开朗了。

第四，关于因果关系与相关关系。我们知道，因果关系是一类重要的关系，主要表现就是逻辑推理，逻辑推理是构建科学大厦的基础。但是，对因果关系中因与果的认识，有时存在认知颠倒，即分不清什么是因、什么是果，而且不以为然。这不是危言耸听。比如，蒙洛迪诺做过几年好莱坞编剧，那么他是因为做过好莱坞编剧，才会讲关于随机性的生动故事呢，还是因为会讲故事，才被好莱坞看中做编剧呢？再如，招聘单位招聘人员时非常重视学生的教育背景，看到学生是“北清”毕业，常常认为他们非常优秀，但是实际上，真正的原因是他们非常优秀，才能进人“北清”。

同样地，生活中常常把檢查结果为阳性从而判断患病的概率与患病后检查结果为阳性的概率混为一谈。这不仅出现在普通民众中，有时也出现在一些专业人士中。其实，检查结果为阳性从而判断患病的概率，通常远远小于患病后检查结果为阳性的概率。例如，大量资料表明，群体中患某种疾病的概率是一个确定的值，而体检结果的准确率为90%，也就是说100个正常人中通常会查出10个阳性（假阳性'100个患病者中通常会查出10个阴性（假阴性'如果群体中患这种疾病的概率较小，那么由贝叶斯公式，或者通过简单的频率计算，容易得出，在体检结果为阳性的前提下，患这种疾病的概率其实很小。这种对相关性的错误认识常常与对因果关系的错误认识有关。

第五，关于条件概率与全概率公式。在概率的问题中，我们还经常遇到有放回抽样与不放回抽样。有放回抽样相对简单，理解通常不会有问题。而不放回抽样理解起来并不容易。比如下面这个问题！

3张扑克牌中有1张中奖牌，甲、乙、丙三人不放回地依次抽取，求甲、乙、丙三人中奖的概率各是多少。

很多人直觉上认为，先抽的人中奖的可能性大，最后抽的人中奖的可能性小。实际上，无论运用古典概率模型，还是以条件概率为基础的全概率公式，理性逻辑告诉我们，甲、乙、丙三人中奖的概率相等，都是1。我们详细地分析一下：

古典概率模型的角度。假设3张扑克牌为A、B、C，它们的排列方式共有6种，即ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA。可见，3张牌在第1、2、3个位置都有2种可能，在所有的6种可能中都占1。所以，甲、乙、丙三人不论按什么顺序，不放回地依次抽取，抽中任何一张牌的可能性都是1，自然抽中中奖牌的概率也是1。

全概率公式的角度。甲抽中中奖牌的概率是3。乙抽牌的情形有两种：一种是甲中奖的前提，另一种是甲没有中奖的前提。因此，乙中奖的概率是上述两种情形的概率和！

一个是0;另一个是甲没有中奖的概率3乘乙中奖的概率1，即3。同样地，丙只有在甲、乙都没有中奖的情况下才能中奖，因此，丙中奖的概率是音x1x1=1。

类似的问题还有很多（如经典的“三门问题”）。这类问题充分说明，直觉可以帮助我们发现问题、提出问题，但真正分析问题、解决问题还需要逻辑的强大力量。在某种程度上，直觉与逻辑也可以看作一枚硬币的两面，相依为伴，共同战斗，帮助人类更好地认识（理解）世界，把握世界。

（张劲松，人民教育出版社课程教材研究所，编审。）