领略数学反问题之美

李明丽

反问题（inverse problem），顾名思义，是一类需要逆向思考来寻找答案的问题。你可能不知道，相当多的数学实际应用，都属于反问题的研究范畴。

在推理小说里，罪犯作案是一次正向发生的过程，而福尔摩斯用优秀的逆向思考能力，得出最有可能的作案方法，破解了案件。在现实世界中，大多数的事物或现象之间往往也存在着一定的自然顺序，如时间顺序、空间顺序、因果顺序等。而反问题则是根据事物的演化结果，由可观测的现象来探求事物的内部规律或所受的外部影响，由表及里，索隐探秘，起着推果求因的作用。

清华大学丘成桐数学科学中心（以下简称“数学中心”）的助理教授邱凌云，正是一位研究反问题的青年学者。在邱凌云看来，反问题的科学研究方兴未艾，在地震反演、无损探伤、非视距成像等方面大有可为，他期待通过反问题的研究做出更多的成果，更好地服务社会，服务国家。

波动与反问题

2018年冬天，邱凌云回到了阔别十多年的祖国，入职清华大学，成为数学中心的一名助理教授。在他的心中，数学中心已然跻身世界一流行列，与国际接轨，是值得他回来大展抱负的理想之地。“我之所以出国去念书，是希望学习更多的知识，所以在学成之后，我的内心有很强烈的想法，想要回到祖国，建设自己的国家。”邱凌云如是说道。

在加入清华大学之前，邱凌云曾在2015—2018年就职于挪威石油地质服务公司（Petroleum Geo-Services，PGS）位于美国休斯敦的全球研发总部，从事地震波反演问题的研究工作。

“我主要的研究方向是反问题研究，数学上叫偏微分方程反问题。偏微分方程是用来描述世界运行状态的数学方程，很多生活中的现象都可以用偏分方程来解释，比如声音是如何传播的，热量是如何扩散的，很多看似迥异的场景是可以用同一组微分方程来描述的，尽管这些现象可能并没有什么关联。”谈到自己的研究方向，邱凌云的话匣子打开了，他用通俗易懂的语言将复杂的学术概念简单化。

地震就是一个典型用波动方程可以描述的过程。地震波是一种穿过地球的振动。通过了解地震波的影响，人们可以深入地球内部，了解它的构造。而邱凌云过去从事的地震反演研究工作，正是反其道而行之。他利用地表观测地震资料，以已知的地质规律和钻井、测井资料为约束，对地下岩层空间结构和物理性质进行成像（求解）。

“通过地震反演，研究人员勘探地下几公里处的石油，方法是在地表实施爆炸，并利用爆炸所产生的地震波回波来计算出地下密度、速度场等参数的分布情况。”这就是波动方程的反问题应用，邱凌云解释说，“比如我听到一面鼓发出的声音，能不能把鼓的形状确定出来，这就是一个和我们找石油类似的反问题。”

如果从应用层面来理解反问题，邱凌云认为最典型的例子是无损探测。“比如在医疗当中的CT、MRI等检测手段，都是在不破坏人体的情况下，探知人体内部的变化，以此判断人体是否健康。这种不知道被观测物体内部结构，仅从外部观测数据来推测的研究方法就可称为反问题研究。”

而波動方程反问题是指由观测结果及某些一般原理出发去推演表征问题特征的模型几何参数和物理参数的数学问题。邱凌云考虑到用波动方程描述的反问题在许多关系国计民生的科技问题当中处于核心地位，比如利用地震波进行地质勘探、使用电磁波进行雷达声纳遥感测量和使用超声波与电磁波进行混合医学成像等。这一类问题是工业与应用数学的关键组成部分，也是日益受到重视的其他学科与数学科学交叉研究中的重要课题。

因此，邱凌云申请到了国家自然科学基金面上项目“基于最优输运理论的波动方程反问题的理论分析和算法研究”，希望能建立新的数学模型、开发新的算法，为相关研究提供更好的科技支撑。

邱凌云介绍说，以地质成像为背景的波动方程反问题往往伴随有非线性强、不适定性显著、计算规模巨大等特点，其通常使用基于梯度下降的迭代方法求解相应的最优化问题。这一点直接体现在即使是使用没有噪声的计算机模拟数据，反问题对应的目标泛函也含有非常多的局部极小元。因此，改善最优化问题目标函数的凸性、避免局部极小元及提升大规模反演计算的效率是波动方程反问题研究中的关键问题。

“首先，我们从最优输运理论出发，提出新的数据变换方式，提升反问题的稳定性与凸性，扩大反问题的收敛半径。同时，我们还深入研究数据当中的噪声及测量时的非精确性对最优输运度量的扰动，系统地提出快速稳定的求解方案。”邱凌云在研究中发现，在波动方程反问题中，用韦氏距离衡量信号间的距离能更加准确地反映速度模型的误差对于数据中走时信息的影响，于是他几乎没有犹豫，将韦氏距离的方法引入，为波动方程反问题相关研究打开了新局面。

但很快，邱凌云发现韦氏距离的引入给波动方程反问题的研究也带来了新的挑战和机遇。这个方向上目前的难点和研究重点在于韦氏距离的应用给数据带来了更严苛的限制条件，寻找合适的数据变换方式及对相应性质给出严格的数学表达和进行数学分析是研究的关键内容。

为此，邱凌云利用卷积神经网络进一步提高算法的性能和准确性。卷积神经网络是从深度感知模型（deep class aware model）修改而来，这一模型没有使用完全连接层，因此在训练步骤中只需要较少的训练样本，并且在推理步骤中需要较少的存储器和较低的计算复杂度。

目前，邱凌云研究了基于最优输运度量的全波形反演，解决了梯度的唯一性问题，分析了多频数据的稳定特性，提出了适用于复杂数据的一个非负校正函数的光滑版本（softplus）编码方法，为基于最优输运度量的全波形反演提供理论基础的同时提供了一种高效可靠的地质反演算法，也为我国能源安全的能源储量探测方面提供了理论支撑和技术支持。其主要成果发表在美国工业与应用数学学会（Society for Industrial and Applied Mathematics，简称SIAM）系列期刊、《反问题》（Inverse Problems）等杂志上。

数学的魔力

人体的超声波检查和地球的石油勘探，这两件事情看上去没有任何关联，但在数学领域，却是用同一个声波方程来控制的。而这正是邱凌云感叹的数学的魔力，“数学的魔力可以把具体的事情抽象化，我在某个方程上做出的研究成果，很有可能就适用于两个看似毫无关联的领域。”这样的魔力，让邱凌云的目光投向了数学之外的全新领域。

2020年7月，“十三五”重点研发计划项目“基于水联网全数字治水关键技术研究与示范”启动。邱凌云在其中负责的子项目是“水联网理论架构的数学表达与控制方程”。水联网是在物联网概念基础上提出的，是基于水资源供需与配送具有物流的典型特征而发展的。在水联网上，需要同时表达水运动的物理过程和水信息的流通过程，需将不同来源、性质、尺度的水信息数据同化和转化，以满足模拟、预报、调配、评价的要求;需将不同过程、要素、尺度的数学模型耦合集成，以描述水资源系统变化;需以功能为中心、以事件驱动为后台、云端处理为支撑，以综合模型计算和进行结果分析。

为此，邱凌云计划从数学理论出发，提炼工程技术的数学模型表达，将水联网架构系统化和理论化，为精简工程试验，因地制宜地研发和推广应用技术。

“我需要做的就是建立一个数学模型。比如水污染源的溯源问题，能不能在短时间内通过沿岸的测量，把谁投放了污染，投了多少计算出来，并精准找到污染来源，然后再通过各种处罚手段，进行严惩，以更好地保障水的安全。”在邱凌云看来，一个领域一旦引进了数学，将具体的问题抽象化，那么它就变成一个能够用公式进行精准预测的领域。

除此之外，邱凌云也在关注着近几年新兴的非视域成像技术。在日常生活中，由于光沿直线传播，人们无法观察到视线之外的场景（非视域），例如隐藏在拐角后、障碍物后的物体等。但非视域成像技术打破了这一限制，使非视域场景“映入眼帘”，人们的视野获得了前所未有的拓展。

然而，非视域成像的过程中，激光经多次漫反射后的回波极弱（仅为光子级），信噪比极低，同时非视域成像問题具有多解性，严重影响了成像质量。尤其对于快速探测场景，现有算法重建的物体往往具有非常模糊的边界，并伴有很强的噪声，给非视域探测技术的发展和未来应用带来了很大的挑战。

因此，邱凌云与合作者共同提出了一种基于信号与目标联合正则化（Signal-object collaborative regularization，SOCR）的非视域重建方法。这一成果以《具有信号-对象协同正则化的非视域重建》（Non-line-of-sight reconstruction with signal-object collaborative regularization）为题发表在《光：科学与应用》（Light： Science & Applications）上。

邱凌云与合作者利用两个基于目标自适应学习形成的字典，分别刻画物体的局部结构与非局部相关性，所提取的物体特征可用于进一步的智能识别和分类。新方法“拍”出的照片中，非视域物体具有清晰的局部细节和边界轮廓，而且成像区域内几乎不含背景噪声，而且在误差控制上明显优于现有方法。通过比较，邱凌云与合作者、学生提出的SOCR方法与此前主流方法（D-LCT）相比，新方法的失真像素数量大幅降低了85%，深度方向均方误差降低了41%，最大法向角度误差降低了56%，平均法向角度误差降低了44%。

邱凌云介绍说，他与合作者提出的非视域目标“高清”重建方法的通用性、兼容性强，有望加速非视域成像技术在自动驾驶、灾难救援、安防反恐、遥感侦察等领域的实际应用和推广。

科学的背后

如果问邱凌云，科学的背后是什么，他一定会说：“科学的背后是数学。”而应用数学工作者在邱凌云的认知里更像是信使，连接着基础数学和工程应用，把一方语言翻译给另一方。

“应用数学花很多时间在建模上，因为要把具体的工作提炼成数学语言，这个提炼的过程很漫长，很多人都不看到，所以研究应用数学，是需要很大决心的事情。你不能把高度抽象的数学语言直接说给做工程的人，他是听不懂的，反过来，我们也不能把具体的工程难点不加以凝练就交给数学家，他们会问数学在哪里，所以应用数学在中间起到沟通的作用。”邱凌云十分认真地解释道。

除了在科学的世界里真切地感受到数学的重要意义外，邱凌云也从身边的大家、老师的身上，耳濡目染地体会到数学研究的精神。

邱凌云在大学时，跟着张震球老师“啃”过许多艰深的书，花了很多时间读懂书上的内容，完成了本科的毕业设计。读研时，他在天津大学跟着姚妙新老师第一次接触偏微分方程的反问题研究，还读了边馥萍老师写的《数学建模》一书，从中学到了很多。邱凌云还跑去南开大学旁听数学大家陈省身的课，听着他给本科生授课，虽然都是些基本的知识，依然受益匪浅。“一次会议上，陈先生谈了关于六维球面上复结构存在性的问题，这个问题实际上跟我的领域不相关，但我到现在都记得那个题目是什么，印象特别深。”

在邱凌云的心里，当时的陈省身先生已经93岁高龄，但他依然非常关心那些还没有解决的数学问题，而且很喜欢和学生们聊天，经常和学生们一起讨论问题。“不见得说，他们告诉了我数学的什么独门秘籍，只是从他们的身上，我学到了对数学治学的严谨。就像人们常说的，高山仰止，景行行止，虽不能至，但心向往之。我只能不断激励自己，努力向前，不辜负老师对我的期望。”

面向未来，邱凌云坚定地相信，随着计算机技术的迅猛发展，数学理论与方法的不断扩充，都将使数学成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，所以在众多科技成果的背后发挥至关重要作用的反问题研究，也一定能在未来大有可为。他将继续反问题研究，挖掘其在水利、非视域成像等方面的重要作用，期待能为国家贡献绵薄之力。

（责编：苏寒山）