共顶点四边形旋转之不变量

常斯韦

纵观各地中考试题，四边形旋转是几何压轴题的热点.下面向同学们介绍其中一个热点类型——共顶点四边形旋转模型.

一、真题再现，感悟旋轉

例 （2021·湖南·湘潭）在数学活动课中，小辉将两个正方形放置在直线l上.如图1，他连接AD，CF，经测量发现AD = CF. 如图2，若将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，试判断AD与CF还相等吗，请说明你的理由.

分析：根据旋转的特点可知：尽管旋转角及图形的位置是变量，但图形的形状和大小是不变量;尽管AD与CF的长度是变量，但二者的等量关系是不变的.从而可以锁定△AOD和△COF的全等关系是不变的，解题方向即可确定.

解：AD = CF.理由：如图2，∵∠COA + ∠COD = ∠DOF + ∠COD，∴∠AOD = ∠COF，又∵OA = OC，OD = OF，∴△AOD ≌ △COF（SAS），∴AD = CF.

点评：两个正方形在共顶点旋转中，虽然位置、旋转角是变量，但正方形的边长和内角始终是不变量.因此，可以基于这种旋转中边、角的不变量，通过识别（或构造）全等三角形（且旋转变化中这种全等关系仍保持不变），得到有别于四边形自身的新的不变量.

二、变式拓展，深悟旋转

变式1：如图3，判断AD与CF的位置关系，并说明理由.

变式2：如图4，连接CD和AF，判断S△CDO与S△AFO的数量关系，并说明理由.

变式3：如图5，AD与CF的交点为G，连接OG，判断∠AGO与∠FGO的数量关系，并说明理由.

变式4：如图6，取CD中点X，连接XO，判断XO与AF的位置关系，并说明理由.

【答案及提示】

变式1：AD⊥CF.如图3，由△AOD ≌ △COF，借助∠DAO = ∠FCO，可证明AD与CF的夹角为90°.

变式2：S△CDO = S△AFO.基于两个全等三角形相等的边AD和CF，再分别作出并证明这两条边上的高相等即可.

变式3：∠AGO = ∠FGO.借助角平分线判定定理，可以由△AOD ≌ △COF借助面积相等且对应边相等，从而得到高相等（或证含这两个高的三角形全等）.

变式4：XO⊥AF.倍延中线OX至点U，使得UX = OX，连接UC，延长XO交AF于点Y.先证明△UCX ≌ △ODX（SAS），再证明△UCO ≌ △FOA（SAS），最后证明∠OAF + ∠AOY = 90°即可.

点评：基于原题以及上述变式，进而在图7至图10中，尽管因为旋转而导致图形的位置不断改变，但上述结论始终保持不变.

（工作单位：沈阳市苏家屯区城郊九年一贯制学校）