一元二次方程典型错误剖析

王其淼

一元二次方程是历年中考的热点之一，解题时稍有疏忽就会出现错误. 下面针对在解一元二次方程有关问题时出现的典型错误加以剖析.

一、求方程中未知数及根的判别式的值时，容易忽略二次项系数是否为零.

例1 若关于[x]的一元二次方程[kx2-x+1=0]有实数根，则[k]的取值范围是（）.

A. [k>14]且[k≠0] B. [k<14]且[k≠0] C. [k≤14]且[k≠0] D. [k<14]

解：[∵]关于[x]的一元二次方程[kx2-x+1=0]有实数根，

[∴k≠0]且[Δ=-12-4k≥0]，解得[k≤14]且[k≠0].

故选C.

点评：根据二次项系数非零及根的判别式[Δ≥0]，即可得出关于[k]的一元一次不等式组，解之即可得出结论.

二、讨论方程的解时，忽略一次方程的情况.

例2 关于[x]的方程[a-1x2+x+a2-1=0]的一根是[0]，则[a]的值为（）.

A. [1] B.[-1] C. [1]或[-1] D.[12]

解：[①]当方程为一元二次方程时，

∵一元二次方程[（a-1）x2+x+a2-1=0]的一个根是[0]，

[∴]将[x=0]代入方程得[a2-1=0]，

解得[a=1]或[a=-1]，

将[a=1]代入方程得二次项系数为[0]，不符合题意，舍去，则[a]的值为[-1];

[②]當方程为一元一次方程时，[a=1].

故[a]的值为[1]或[-1].

故选C.

点评：此类题应分两种情况讨论：当方程为一元二次方程时，由一元二次方程的一个根是[0]，将[x=0]代入方程得到关于[a]的方程，求方程的解即得[a]的值，将[a]的值代入方程进行检验，即可得到满足题意的[a]的值;再当方程为一元一次方程时，[a-1=0]，求解即可.

三、未发现题目中的隐含条件.

例3 若[（x2+y2）2-5（x2+y2）-6=0]，则[x2+y2=] .

解：设[x2+y2=z]，则原方程转化为[z2-5z-6=0]，即[（z-6）（z+1）=0]，

解得[z1=6]，[z2=-1]，

[∵x2+y2] [≥] [0]，[∴x2+y2=6]，

故填[6].

点评：由于此题是填空题，同学们在解题时往往因步骤不严谨而忽略所求式子为非负数.

四、对题意分析不全面.

例4 等腰三角形的一边长是[3]，另两边的长是关于[x]的方程[x2-4x+k=0]的两个根，则[k]的值为（）.

A. [3] B. [4] C. [3]或[4] D. [7]

解：[①]当[3]为腰长时，将[x=3]代入[x2-4x+k=0]，得[32-4×3+k=0]，

解得[k=3]，[x2-4x+3=0]的两个根是[x1=3]，[x2=1]，由于[3+1>3]，故符合题意;

[②]当[3]为底边长时，关于[x]的方程[x2-4x+k=0]有两个相等的实数根，

[∴Δ=（-4）2-4×1×k=0]，解得[k=4]，

[x2-4x+4=0]的两个根是[x1=x2=2]，由于[2+2>3]，故符合题意.

[∴k]的值为[3]或[4].

故选C.

点评：解题时容易忽略对题目中边长为3的边的讨论.

五、忽略上一问中字母的取值范围.

例5 已知关于[x]的方程[x2-4x+k+1=0]有两实数根.

（1）求[k]的取值范围;

（2）设方程两实数根分别为[x1]，[x2]，且[3x1+3x2=x1x2-4]，求实数[k]的值.

解：（1）[Δ=16-4（k+1）=16-4k-4=12-4k≥0]，[∴k≤3].

（2）由题意可知：[x1+x2=4]，[x1x2=k+1]，

[∵3x1+3x2=x1x2-4]，[∴3（x1+x2）x1x2=x1x2-4]，

[∴3×4k+1=k+1-4]，[∴k=5]或[k=-3]，

由（1）可知[k=5]舍去，[∴k=-3].

点评：此题的易错点是求解第（2）问时容易忽略第（1）问中[k]的取值范围.

（作者单位：大连市第九中学）