数学思想助解特殊平行四边形

谢春娟

在解决特殊平行四边形的问题中，运用数学思想常常可以迅速找到解题的途径.下面举例说明.

一、转化思想

例1 （2021·重庆）如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N. 若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（）.

A. 1 B. [2] C. 2 D. [22]

分析：要求正方形的边长AB，题中有S四边形MOND = 1的条件，因此可转化为求S正方形ABCD，而S正方形ABCD是S△DOC的4倍，故只要求出S△DOC即可，这就需要找到S△DOC与S四边形MOND的关系.

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠MDO = ∠NCO = 45°，OD = OC，∠DOC = 90°，∴∠DON + ∠CON = 90°.

∵ON⊥OM，∴∠MON = 90°，∴∠DON + ∠DOM = 90°，

∴∠DOM = ∠CON，∴△DOM ≌ △CON（ASA）， ∴S△DOM = S△CON.

∵S四边形MOND = 1，S四边形MOND = S△DOM + S△DON，∴S四边形MOND = S△DOC，

∴S△DOC = 1，∴S正方形ABCD = 4，即AB2 = 4，∴AB = 2.

故选C.

点评：解题关键是要进行三个转化：正方形ABCD的边长与面积的转化、正方形ABCD的面积与△DOC的面积的转化及△DOC的面积与四边形MOND的面积的转化.

二、方程思想

例2 （2021·四川·遂宁）如图2，在矩形ABCD中，AB = 5，AD = 3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C 恰好落在AB边上的点F处，则CE的长是（）.

A. 1 B. [43] C. [32] D. [53]

分析：设CE = x，则BE = 3 - x，由折叠性质可知EF = CE = x，DF = CD = AB = 5，可求得AF = 4，BF = 1. 在Rt△BEF中，由勾股定理得（3 - x）2 + 12 = x2，解出x即可.

解：设CE = x，则BE = 3 - x，

由折叠性质可知，EF = CE = x，DF = CD = AB = 5.

在Rt△DAF中，AD = 3，DF = 5，∴AF = [52-32=4]，∴BF = AB - AF = 5 - 4 = 1.

在Rt△BEF中，BE2 + BF2 = EF2，即（3 - x）2 + 12 = x2，解得x = [53].

故选D.

点评：熟练掌握矩形性质及勾股定理是解题的关键.

三、分类思想

例3 （2021·云南）已知△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段[AC]交于点D. 若△ABC的一条边长为6，则点D到直线AB的距离为.

分析：将△ABC放入正方形中，分别对∠ABC = 90°，∠BAC = 90°这两种情况进行讨论;每种情况再分别对AB = BC = 6，AC = 6这两种情况进行解答.

解：∵△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，如图3，若∠ABC = 90°，则∠ABC的平分线为正方形ABCE的对角线，D为对角线的交点，

过点D作DF⊥AB，垂足为F，

若AB = BC = 6，则DF = [12]BC = 3;

若AC = 6，则AB = BC = [62] = [32]，∴DF = [12]BC = [322].

如图4，若∠BAC = 90°，过点D作DF⊥BC于F.

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD = ∠CBD，∴AD = DF.

又∵∠BAD = ∠BFD = 90°，BD = BD，∴△BAD ≌ △BFD（AAS），∴AB = FB.

若AB = AC = 6，则BC = [62+62=62]，BF = 6，∴CF = [62-6].

在正方形ABEC中，∠ACB = 45°，

∴△CDF是等腰直角三角形，則AD = DF = CF = [62-6];

若BC = 6，则AB = AC = [62] = [32]，

同理可得AD = DF = CF = [6-32].

因此，点D到直线AB的距离为3或[322]或[62-6]或[6-32]

点评：解题时要结合题意分类画出图形.

四、模型思想

例4 （2022·四川·自贡）如图5，矩形ABCD中，AB = 4，BC = 2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右移动，若EF = 1，则GE + CF的最小值为.

分析：要求GE + CF的最小值，自然联想到“将军饮马”模型，为此设法利用平移将分散的GE和CF加以“集中”，如图6，作EE′[∥]FC，交CD于点E′，再延长GA到点G′，使AG′ = AG，连接EG′，E′G′，则GE + CF的最小值为E′G′，根据勾股定理求出E′G′，即可得到答案.

解：如图6，过点E作EE′∥FC，交CD于点E′，延长GA到点G′，使AG′ = AG，连接EG′，E′G′，则GE + EE′的最小值即为GE + CF的最小值.

∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∠D = ∠DAB = 90°，

∴四边形EFCE′是平行四边形，点G与点G′关于直线AB对称，

∴CE′ = EF = 1，EE′ = FC.

∵G是AD的中点，CD = AB = 4，AD = BC = 2，

∴DG = AG = AG′ = 1，∴DG′= 3，∴DE′= 3.

在Rt△DE′G′中，由勾股定理有E′G′ = [DE'2+DG'2=32+32=32]，

∴G′E + EE′ ≥ E′G′ = 3[2]，即G′E + EE′的最小值为3[2].

∵点G与点G′关于直线AB对称，∴GE = G′E，

∴GE + CF的最小值为3[2].

点评：解题的关键是由求GE + CF的最小值，联想并构造出“将军饮马”的基本模型.本题实质上是将“将军饮马”模型中一条线段进行平移后形成的，利用平移将它“恢复原状”，其解题思路就会应运而生.当然，平移的方法不尽相同，随着平移方法的不同解题过程也有简繁之分.图7是由另外两种平移方法得到的“将军饮马”模型，请你动手解一解，并对三种方法进行比较，从中得到启发，做到巧平移、妙解题.

[D][C][A][B][F][E][G][G'][E'] [M][F'][D][C][A][B][F][E][G][G'][G[″]][M][图7]

（作者单位：江苏省兴化市戴窑中学）