基于建模教学的课程设计与思考

朱维珺

[摘  要] 新课标赋予了数学建模与模型思想明确的含义，它是数学核心素养的重要组成部分之一. 建模是实践的产物，它能帮助学生快速解决实际问题，提高解题效率. 文章以“實际问题与一元二次方程”的教学为例，着重从课程分析、教学设计与教学反思三方面谈一些看法.

[关键词] 建模;一元二次方程;教学反思

初中数学中，有不少内容涉及数学模型类问题，有些教师对于模型的形成过程常一带而过或干脆忽略，出现“重目标，轻过程”的教学现象[1]. 殊不知，谋求在数学学科上的发展，应经历一个砺沙成珠的过程，各项能力与素养的培养都需要经历长久、点滴的渗透.

数学模型带给我们的不仅是解题步骤与程序，还具有启发思维的重要作用. 数学教学要实现知识与技能目标，更重要的是培养学生的数学思维，让学生能自主地用数学的眼光看待身边的一切事物，从而形成高阶思维与良好品质，为核心素养的产生奠定基础.

基于这个角度，我们应将数学模型作为一种重要的教学资源，启发并引导学生感知模型的建构过程，在教学中不断地渗透模型思想，让学生学会用数学语言模拟现实问题，让模型思想成为解决与研究数学问题的一种演绎思想.

提炼、内化数学模型思想必然要经历一个建模过程，这就需要教师精心设计鲜活且具有借鉴意义的案例来展示建模过程，这对提升课程价值和落实核心素养具有重大意义. 为此，本文以“实际问题与一元二次方程”的教学过程为例，具体谈谈数学建模教学在课堂中的实施过程与思考.

课程分析

在我们的生活实际中，通过存在的数量关系可将某些问题抽象成数学中常用的“一元二次方程”来解决. 本节课的教学核心是将源自生活的问题与数学中的“增长率”相结合，在分析中建构数学模型. 本节课的主要教学流程为引导学生感知生活情境，分析其中存在的一些数据，并亲身经历建模活动过程（情境—建构—验证—应用）. 学生可在此过程中深刻体验数学与生活的关系，有效地发展自身的应用意识.

教学设计

1. 创设情境（引发思考）

课堂导入环节，用丰富的情境，不仅能快速吸引学生的注意力，让学生将目光集中到课堂中，还能有效地激发学生的探究兴趣. 本节课，笔者选择以播放视频的方式来引发学生的探究欲，并快速切入教学主题.

播放视频：病毒复制百万大军

一位学生因感冒打了一个喷嚏，流感病毒随着飞沫进入空气中，其他人吸入带有病毒的飞沫. 刚开始仅仅是一个病毒侵入人体细胞，但这个病毒很快就进行了大量复制，最终产生了数百万个病毒.

思考：（1）一个流感病毒经复制后，形成多少个病毒？

（2）求流感病毒在体外的传播速度.

设计意图  数学本就由生活实际事物抽象而来，以流感病毒这个常见的生活问题来创设情境，贴合学生的认知经验，容易吸引学生的注意力，同时也让学生充分认识到病毒侵入人体的途径、方法与复制情况，为提高生活知识储备量奠定基础. 通过视频展示数百万个病毒的复制过程，让学生直观形象地感知生活与数学的关系，从而燃起对问题的探究欲望.

2. 问题探究（建构模型1）

探究1：若某人患了流感，两轮后合计感染了121人，求每轮传染过程中，平均每人传染了几人.

问题1：此问中涉及哪些已知量与未知量？

追问：填写表1，思考在这两轮的病毒传染过程中，数量具有怎样的变化规律.

在学生完成表1后，引导学生对相关数据进行思考分析，并填写表2. 第一次建模则在表格的分析与完善中完成.

问题2：观察以上探究过程，思考传染源、患者和被感染人群之间具有怎样的等量关系.

结论：患者=传染源+被感染人数;第二轮患者人数为（1+x）2.

设计意图  当遇到认知之外的问题情境，且涉及多个数量时，引导学生用图表的形式进行数据的整理与分析，这对抽象出数据之间的关系具有直接促进作用. 而表格中的数据也能帮助学生感知从具体到一般的数学思想.

问题3：若病毒以这种速度继续传播，三轮后会有多少患者？

问题4：若每轮每个传染源都传染给了x人，那么当传染源为1，2，3，…，a时，第3，4，5，…，n轮时的患病人数是多少（完成表3）？

[传染源 第一轮患病总人数 第二轮患病总人数 第三轮患病总人数 第四轮患病总人数 第n轮患病总人数 1 2 3 … a ][表3]

总结：在第n轮时，被感染的总人数为a（1+x）n，a代表初始传染源数量，x代表每轮每人传播几人，n为轮数.

设计意图  学生对问题的分析与解决能力，应从教材走向宽泛的生活中. 当学生经初步探究后，笔者又带领学生思考与之相关的衍生问题，启发学生分析、探究第3，4，5，…，n轮被传染的总人数.

分析过程运用到不完全归纳法和分析法等方法，让学生学会分别从n，a的变化维度去推理问题. 这让学生对该探究活动产生了更为深刻的认识，在积累探究经验的同时获得良好的数学思想方法，为后期的“数到式”“特殊到一般”的提炼奠定了基础.

3. 目标检测（模型1的应用）

问题1：若某种病毒在复制过程中，在确保自身稳定的前提下，每半小时能繁衍出许多新的病毒. 若第一个病毒经过一小时的复制，变成了1024个同样的病毒，假设每个病毒每半小时的复制数量是x，由此可列出怎样的方程？

问题2：已知刚开始有3人确定被流感病毒感染，经过两轮传染后，发现一共有363人被流感病毒感染，假设每一轮传染过程中，平均每人传播给了x人，由此可列出怎样的方程？

问题3：广场舞领舞自编了一套舞蹈，在第一次课上，她教会了几个同伴;第二次课上，已经学会的阿姨与领舞又教会了其他阿姨，每人都教会了相同数量的阿姨，最后一共有36人学会了这套新动作，若第1次和第2次每人教会的人数均为x，则可列出怎样的方程？

设计意图  准确地找出问题间的数量关系，是建模的核心思想. 此传染病问题主要涉及传染源、传播轮数和传播速度等量，学生在探究过程中自主建立了等量关系（即方程），使其进一步熟悉方程模型.

4. 問题探究（建构模型2）

探究2：王老师在排练体操时，第一节课教会了几名学生，第二节课由会做的同学教其他学生，每个会做的学生都教会了同等数量的学生，算上王老师当前共有31人学会了这套体操，求每次教会了多少名学生.

问题1：探究2中存在哪些等量关系？

问题2：本探究问题与以上目标检测的第三题有什么区别吗？其本质是什么？

设计意图  探究2所蕴含的数量关系和探究1中的数量关系特别容易混淆，如此设计的目的就是引导学生学会观察，主要是从类似的情境中，类比出传染源在第二轮过程中有没有参加传播的关键点，由此会反映出不同的数量关系. 对于探究2，学生只有在正确审题后才能获得准确的数量关系，以此培养自身规范、严谨的审题能力.

5. 目标检测（模型2的应用）

问题1：若一种树木的主干能长出一定数量的枝干，而长成的每根枝干又可以长出相同数量的分支，已知主干、枝干、分支的总量为91，求每根枝干所长出的分支数量.

问题2：若某种病毒具有较快的传播速度，若一个人被感染，两轮传播后则有81人被感染. 结合本节课所学内容，分析每轮传播每个人会传给几个人？若控制不力，经三轮传播后，被感染的人数会不会大于700？

设计意图  这两道检测题主要是为了让学生辨析两个模型的区别，并学会应用所学模型来解决生活实际问题.

学生经独立思考与合作探究后，进一步熟悉了如何应用“一元二次方程”来解决生活实际问题，并逐步形成规范的解题格式和步骤，为解题能力的形成与发展奠定基础.

6. 课堂小结

引导学生再次回顾本堂课所研究的两个传播问题，通过总结、提炼，寻找出知识与知识间的联系和区别. 经总结，学生对于病毒传播问题，提炼出两个式子：①a（1+x）2，a（1+x）n;②1+x+x2，1+x+x2+…+xn. 在此基础上，笔者要求学生思考以下几个问题.

问题1：选择用一元二次方程来解决生活实际问题时，需经历哪些过程？与用一元一次方程来解决问题有哪些异同点，有哪些地方值得注意？

问题2：通过以上探究活动的践行，大家对此类传播类问题中存在的数量关系有没有新的感悟与体验？

问题3：若我们自己在生活中，不小心得了某种具有传染性的疾病，该采取怎样的措施？

设计意图  正确的方法是解决问题的基本依托，这几个问题的设计，主要是为了引导学生对本节课的探究活动进行一个回顾、总结. 最后一个问题的提出是引导学生将目光从解决数学问题转移到处理生活问题，为提高学生的生活能力夯实基础，这也是塑造人格品质与世界观的过程.

教学反思

1. 科学选材，激发兴趣

创设丰富的教学情境是如今广大教育工作者信手拈来的课堂导入手法之一，而情境选择却对课堂的成败有着直接影响. 本节课以流感病毒传播作为情境的素材，与如今“新冠病毒”的存在相呼应. 虽然这是两种病毒，但它们之间有着较高的相似性，以此作为情境素材，更契合当下的社会热门问题，能引发学生心灵的共鸣.

一般在情境选材时，我们可从以下几个角度加以思考：（1）源自教材. 教材是教学的根本，教材中的每个问题都是编者经过精心挑选与慎重思考过的，更具代表性与严谨性. （2）贴近生活. 数学与生活一直有着密不可分的联系，从生活中选取情境素材，更容易激发学生的探索欲，让学生产生积极的情感倾向. （3）趣味性、层次性、探究性. 结合学生的认知发展规律，逐层递进、趣味十足且充满探究性的情境素材，往往能起到事半功倍的引导效果.

2. 问题引领，引发探究

建模是初中数学教学的重要环节之一，也是学生用来解决实际问题的核心手段. 感知模型的形成过程，能夯实学生的思维基础，帮助学生熟练应用模型，实现知识与生活实际应用的有机融合[2]. 本节课，教师结合学生的认知结构与教学内容的实际特征，引导学生全程参与、分析、体验、归纳建模过程，使得学生的思维得以螺旋式上升. 同时，以问题驱动的预设方式，使得学生在独立思考、合作交流等环节，一直保持着积极的情感状态.

笔者在本节课的实践中，充分体会到预设对动态生成的直接影响. 学生是课堂的主体，因此，教学任务的探究主体为学生，学生通过对问题的思考、分析自主建模，在问题的驱动下应用相应的模型. 这让学生深刻感知了模型的建立与应用都是在问题的引领下而形成的能力.

3. 抓关键点，自主建模

课堂教学过程中，在探究传染源为2人，第二轮的被传染人的总数量时，呈现出了一个建模的关键点：部分学生仍然以常规思维列式为：被感染总人数=传染源+被传染人数，由该式来分析第二轮的患病总人数;同时也有个别学生认为，当首个传染源为1人时，那么第二轮被感染的人数应为（1+x）2，由此将2个传染源分解为“1+1”的形式，获得传染源为2人时第二轮的被感染者数量为2（1+x）2. 这是一种纵向思考，与常规思维方式有所差别，这种分析方式对传染源为3，4，…，a人，经过第3，4，…，n轮的传播后被感染者的数量的获得，具有推波助澜的作用. 教师在引导学生建模过程中，应留有充足的时空给学生思考、表达，让学生的思维随着思考的深入而绽放光彩.

4. 善于小结，总结提炼

不论多么精心的设计，多么优秀的教师，都很难在课堂中面面俱到，也不可能将每个知识点都剖析给学生. 小结，不仅是对课堂整体的回顾，还能发现教学中的不足，引发更多的思考与拓展. 同时，小结还具有承上启下的功效，它可将知识的上下内容联系起来，让学生对知识做到脉络清晰. 本节课的教学核心是帮助学生建模，在小结时可针对建模过程与模型的应用多加思考，主要内容为：（1）建模过程中，应紧扣的关键词是什么？（2）主要数量关系是什么？

总之，在新课改日益深化的当下，初中数学建模虽不是一种常态化的教学内容，但它确确实实改进了教学效果，让学生的思维变得更加灵活，课堂变得更有生命力. 我们应注重数学模型的研究与推广，让广大师生积极参与到建模的研究中来，使得课堂更具生命力与活力.

参考文献：

[1]孙翔宇. 上海市高中生数学建模能力的调查与分析[J]. 教育测量与评价，2016（06）：44-49.

[2]徐斌艳，LUDWIG Matthias. 中学生数学建模能力水平的实验分析[J]. 中学数学月刊，2007（11）：1-2+30.