2022年新高考Ⅱ卷数学试题评析

罗文军

摘   要：2022年新高考Ⅱ卷以《普通高中数学课程标准》（2017年版2020年修订本）和《中国高考评价体系》为依据，着重考查了考生对高中数学必备知识、基本方法和基本技能的掌握情况，突出考查考生的独立思考能力、阅读理解能力、运算求解能力、逻辑思维能力、空间想象能力、数学建模能力、创新能力、分析问题和解决问题的能力。试题涉及的高中数学必备知识面广，保持了2021年新高考Ⅱ卷突出對函数与导数、三角函数与解三角形、解析几何、立体几何、概率与统计和数列等高中数学主干知识重点考查的特色，彰显基础性、综合性、创新性和选拔性，整套试卷落实了《中国高考评价体系》中的“一核、四层、四翼”的考查要求，落实了立德树人的根本任务，有利于高校选拔优秀人才，对中学素质教育的实施具有积极的导向作用，对中学数学开展教育教学改革具有很好的促进作用。

关键词：高考;评析;素养

中图分类号：G633.6    文献标识码：A    文章编号：1009-010X（2022）26-0009-08

一、整体评价

2022年使用教育部考试院命制的新高考Ⅱ卷的省市有海南、辽宁和重庆。2022年新高考Ⅱ卷以《普通高中数学课程标准》（2017年版2020年修订本）和《中国高考评价体系》为依据，着重考查了考生对高中数学必备知识、基本方法和基本技能的掌握情况，突出考查考生的独立思考能力、阅读理解能力、运算求解能力、逻辑思维能力、空间想象能力、数学建模能力、创新能力、分析问题和解决问题的能力。试题涉及的高中数学必备知识面广，保持了2021年新高考Ⅱ卷突出对函数与导数、三角函数与解三角形、解析几何、立体几何、概率与统计和数列等高中数学主干知识重点考查的特色，彰显基础性、综合性、创新性和选拔性，整套试卷落实了《中国高考评价体系》中的“一核、四层、四翼”的考查要求，落实了立德树人的根本任务，有利于高校选拔优秀人才，对中学素质教育的实施具有积极的导向作用，对中学数学开展教育教学改革具有很好的促进作用。

二、数学卷试题布局及特征分析

从附表可以看出，2022年新高考Ⅱ卷共有8道单项选择题、4道多项选择题、4道填空题和6道解答题。选择题第1、2、4、5、6、9、11题，填空题第13题，解答题第18题、第19题源于课本或者历年高考真题，注重基础，注重对基本方法的考查。第3题、7题、8题、9题、10题、12题、15题、16题、17题、18题、20题、21题、22题都考到了函数与方程思想。第3题、7题、10题、11题、15题、16题、20题和21题都考查了数形结合思想。第6题、7题、8题、9题、12题、15题、17题、18题、21题和22题都考查了化归与转化思想。第14题、17题、21题和22题都考查了分类讨论思想。解答题的考查内容和顺序有所调整，2021年新高考Ⅱ卷解答题的顺序为第17题数列、18题解三角形、19题立体几何、20题解析几何、21题概率与统计、22题函数与导数，2022年新高考Ⅱ卷解答题的顺序为第17题数列、18题解三角形、19题概率与统计、20题立体几何、21题解析几何、22题函数与导数，调整了立体几何、解析几何和概率与统计试题的顺序。

三、部分试题赏析

例1（3题）图1是中国古代建筑中的举架结构AA′、BB′、CC′、DD′，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1、CC1、BB1、AA1是举，OD1、DC1、CB1、BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为■=0.5，■=k1，■=k2，■=k3，已知k1、k2、k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3=（   ）

A.0.75     B.0.8     C.0.85     D.0.9

解：由题设OD1=DC1=CB1=BA1=d，由题设CC1=k1DC1=k1d=（k3-0.2）d，BB1=k2CB1=（k3-0.1）d，AA1=k3BA1=k3d，又因为，

kOA=■

=■=0.725

解得k3=0.9，故选答案D.

【赏析】本题以中国古代建筑中的举架结构为背景，以探索创新情境为载体，考查了等差数列的定义、直线斜率的定义和解直角三角形，考生在读懂题目的基础上，抓住题目中的关键信息，设这些相等的步的数值为d，再根据举步之比把举用步表示，运用等差数列的定义把k1和k2都用k3表示，再根据直线的斜率定义表示出直线OA的斜率，最后通过运算可以求出k3的值。本题以中国建筑艺术文化为情境，以举架结构为载体，设计新颖，面向全体考生，重基础、重创新、重生产和生活实际，考查了考生的直观想象、数学运算、逻辑推理和数学建模的核心素养。试题的设计让考生感受到我国古代建筑文化的博大精深，体会到中国古建筑的对称美与和谐美以及其中蕴含的“注重现实和天人合一”的哲学思想。本题还可以引导考生通过了解中国古代建筑文化，体会数学知识方法在认识改造现实世界中的重要作用，体现了理性思维、数学文化的学科素养和数学的人文价值，落实了应用性和创新性的考查要求，落实了数学文化内涵的整体育人功能，落实了立德树人的根本任务。

例2（7题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3■和4■，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（   ）

A.100π B.128π C.144π D.192π

解：由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为■=3，下底面所在平面截球所得圆的半径为■=4，如图3，

设球的半径为R，则轴截面中由几何知识可得■+■=1或■-■=1，解得R=5，所以该球的表面积为4πR2=4π×25=100π.

故选：A.

【赏析】试题以正三棱台的外接球为背景，以课程学习情境为载体，棱台的外接球问题在近五年的全国各省市高考题中均没出现过，因此说本题背景具有一定的新颖性，需要考生将学过的处理棱锥的外接球的方法迁移过来，即将空间问题转化为平面几何问题，最后将几何量集中在一个梯形中。本题考查了正弦定理、正三棱台的几何性质、球的几何性质以及球的表面积公式，体现了高考试题注重在知识交汇处命题的特点，难度比较大。本题以课程学习情境为载体，对考生分析问题和解决问题的能力有比较高的要求，具有很好的区分度和选拔功能。

例3（8题）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y），f（1）=1，则■f（k）

A.-3     B.-2    C.0     D.1

解：令y=1，则f（x+1）+f（x-1）=f（x），

即f（x+1）=f（x）-f（x-1），

f（x+2）=f（x-1）-f（x），

f（x+3）=f（x+2）-f（x+1），

f（x+3）=f（x），

则f（x+6）=-f（x+3）=f（x），f（x）的周期为6，

令x=1，y=0得f（1）+f（1）=f（1）×f（0），

解得f（0）=2，又f（x+1）=f（x）-f（x-1），

f（2）=f（1）-f（0）=-1，f（3）=f（2）-f（1）=-2，

f（4）=f（3）-f（2）=-1，f（5）=f（4）-f（3）=1，

f（6）=f（5）-f（4）=2，

■f（k）=1-1-2-1+1+2=0，

■f（k）3×0+f（19）+f（20）+f（21）+f（22）

=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=-3.故選：A.

【赏析】本题是一道抽象函数问题，以探索创新情境为载体，要求考生在读懂题目的基础上，通过推理论证得出函数f（x）的周期，计算出该抽象函数的部分函数值，从而得出解答.本题考查了考生的逻辑思维能力与运算求解能力，具有很好的区分度。

例4（10题）已知O为坐标原点，过抛物线C：y2=2px（p>0）焦点F的直线与C交于A、B两点，其中A在第一象限，点M（p，0）.若AF=AM，则（  ）

A.直线AB的斜率为2■

B.OB=OF

C.AB>4OF

D.∠OAM+∠OBM<180°

解法1：如图4，

∵F（■，0），M（p，0），且AF=AM，

由题设可得xA=■=■，

∴A（■，■），

由抛物线焦点弦的性质可得xA·xB=■，

则xB=■，则B（■，-■），

∴kAB=kAF=■2■，故A正确;

OB=■=■，

OF=■，OB≠OF，

故B错误;

AB=■+■+p=■>2p=4OF，

故C正确;

因为■（-■p，-■p），

■（■p，-■p），

■·■=-■+■>0

所以∠OAM为锐角，

■=（-■p，■p），

■=（■p-，■p），

■·■=-■+■>0

∠OAM，∠OBM均为锐角，

可得∠OAM+∠OBM<180°，故D正确.

故选：ACD.

解法2：同解法1可得，xA=■，

由抛物线焦半径公式可得，

AF=xA+■=■+■=■，

由抛物线焦点弦性质，■+■=■，

可得■+■=■，

所以解得BF=■，

所以AB=AF+BF

=■+■=■，4OF=2p，

所以AB>4OF，

故答案C正确;

设直线AB的倾斜角为α，由题设0<α<■，由抛物线焦半径公式可得

AF=■=■，

解得cosα=■，

所以k=tanα=■=■2■，

故答案A正确;

在△OBF，由余弦定理可得，

OB=■

=■≠OF，

故答案B错误;

在△OAF中，由余弦定理可得，

OA2=AF2+

OF2-2AFOFcos（π-α）=■，

在△BFM中，由余弦定理可得，

BM2=BF2+FM2-2BFFMcos（π-α）=■，

OA2+OB2-AB2

=■+■-■<0，

故∠AOB>■，

AM2+BM2-AB2

=■+■-■<0，

故∠AMB>■，

所以∠AOB+∠AMB>π，

所以∠OAM+∠OBM<π，

故答案D正确.

【赏析】试题考查了抛物线的焦点弦和焦半径的性质，以课程学习情境为载体，考查了考生对直线与抛物线的通性通法的掌握情况;考查了数形结合思想及化归与转化思想;考查了运算求解能力、逻辑思维能力;考查了考生分析问题和解决问题的能力。抛物线的焦点弦问题在课本中有相关例子，本题立足于对基础知识和基本方法的考查，注重对关键能力的考查，突出对数学运算、逻辑推理和直观想象等数学核心素养的培养，试题解法多样，有利于不同学习程度的考生作答，试题具有很好的区分度和选拔功能。

例5（14题）曲线y=lnx过坐标原点的两条切线的方程为_____________，___________.

解：当x>0时，y=lnx，设切点坐标为（x0，lnx0），y′=■，切线的斜率k=■，切线方程为y-lnx0=■（x-x0），又切线过原点，-lnx0=-1，x0=e，切线方程为y-1=■（x-e），即x-ey=0，当x<0时，y=ln（-x），与y=lnx的图像关于y轴对称，切线方程也关于y轴对称，切线方程为x+ey=0.综上所述，曲线y=lnx经过坐标原点的两条切线方程分别为x-ey=0，x+ey=0，故答案为：x-ey=0，x+ey=0.

【赏析】试题考查利用导数的几何意义研究曲线的切线方程，以课程学习情境为载体，考查了分类讨论思想、函数的对称性、运算求解能力、逻辑推理和数学抽象的核心素养。试题设计了两空，加大了试题的区分度，题目侧重于对函数与导数知识的理解和应用，对中学数学函数与导数的教学具有积极的引导作用。

例6（17题）已知an是等差数列，bn是公比为2的等比数列，且a2-b2=a3-b3=b4-a4.

（1）证明：a1=b1;

（2）求集合k∣bk=am+a1，1≦m≦500中元素的个数.

解：（1）证明：设等差数列an的公差为d，

an=a1+（n-1）d，bn=b1qn-1=2n-1b1，

由题设可得a1+d-2b1=a1+2d-4b1（i）a1+2d-4b1=8b1-a1-3d（ii），

由（i）可得，d=2b1，

代入（ii）可得a1+4b1-4b1=8b1-a1-6b1，

得a1=b1;

（2）由（1）知，d=2b1=2a1，

am=a1+（m-1）d=a1+（m-1）2a1=（2m-1）a1，

bk=2k-1b1=2k-1a1，因为bk=am+a1，

所以2k-1a1=（2m-1）a1+a1=2ma1，

即2k-1=2m，即m=2k-2，又1≦m≦500，

故1≦2k-1≦500，

又因为k∈N*，28=216，29=512，

所以1≦2k-2≦28，所以2≦k≦10，

故集合k∣bk=am+a1，1≦m≦500

=2，3，，4，5，6，7，8，9，10，

所以k∣bk=am+a1，1≦m≦500，中元素个数为9个.

【评析】本题以课程学习情境为载体，考查了等差数列的通项公式、等比数列的通项公式、集合以及指数函数的单调性。考查考生对数列、集合与函数等高中数学必备知识的掌握程度和灵活应用能力。本题体现了高考试题注重在知识交汇处命题的特点，考查了运算求解能力和逻辑思维能力，对高中数学数列部分的教学有积极的导向作用。

例7（19题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）;

（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70）的概率;

（3）已知该地区这种疾病的患者的患病率为，该地区年龄位于区间[40，50）的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50），求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001.）.

解：（1）由频率分布直方图得该地区这种疾病患者的平均年龄为：■=5×0.001×10+15×0.002×10+25×0.012×10+45×0.023×10+55×0.020×10+65×0.017×10+75×0.006×10+85×0.002×10=47.9岁.

（2）该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间【20，70）的频率为：（0.012+0.017+0.023+0.020+0.017）×10=0.89，

∴估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间【20，70），的概率为0.89.

（3）设从该地区中任选一人，此人的年龄位于区间【40，50）为事件B，此人患这种疾病为事件C，则P（C∣B）=■=■≈0.0014.

【赏析】试题以某地区进行流行病学调查为背景，体现了命题以社会生活实践情境为载体。第（1）问和第（2）问旨在考查考生对频率分布直方图的理解和掌握情况以及用样本数字特征估计总体数字特征、用频率估计概率的方法。第（3）问考查了条件概型的应用，着力考查了考生的阅读理解能力、分析和处理数据的能力、运算求解能力;考查了数学运算、数据分析和数学建模的核心素养;考查了考生的数学应用意识。本题可以使考生体会到概率与统计知识在社会生活实践中的应用价值，对概率与统计学的教学改革具有促进作用。

例8（21题）已知双曲线C：■-■=1（a>0，b>0）的右焦點为C（2，0），渐近线方程为y=±■x.

（1）求C的方程;

（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1>x2>0，y>0.过P且斜率为-■的直线与过Q且斜率为■的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①M在AB上;②PQ∥AB;③MA=MB.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

解：（1）由题意可得■=■，■=2，

解得a=1，b=■，

因此C的方程为■-y2=1，

（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，（k≠0），将直线PQ的方程代入■-y2=1可得（3-k2）x-2kbx-b2-3=0，

∴x1+x2=■，x1x2=-■，

∴x1-x2=■

=■，

设点M的坐标为（xM，yM），

则yM-y1=■（xM-x1）yM-y2=■（xM-x2），

两式相减可得y1-y2=2■xM-■（x1-x2），

∴y1-y2=k（x1-x2），

∴2■xM=■（x1+x2）+k（x1-x2），

解得xM=■，

两式相减可得2yM-（y1+y2）=■（x1-x2），

∵y1+y2=k（x1+x2）+2b，

∴2yM=■（x1-x2）+k（x1+x2）+2b，

解得yM=■，

yM=■xM，其中k为直线PQ的斜率;

若选择①②：设直线AB的方程为y=k（x-2），并设A的坐标为（x3，y3），B的坐标为（x4，y4），

则y3=k（x3-2）y3=■x3，

解得x3=■，y3=■，

同理可得x4=■，y4=■，

∴x3+x4=■，y3+y4=■，

此时点M的坐标满足yM=k（xM-2）yM=■xM，

解得xM=■=■（x3+x4），

yM=■=■（y3+y4）

∴M为AB的中点，即MA=MB;

若选择①③：

当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F（2，0），此时不在直线y=■x上，矛盾，当直线AB的斜率存在时，设AB直线的方程为y=m（x-2）（m≠0），并设A的坐标为（x3，y3），B的坐标为（x4，y4），

则y3=m（x3-2）y3=■x3，

解得x3=■，y3=■

同理可得x4=■，y4=■，

此时xM=■（x3+x4）=■，

∴yM=■（y3+y4）=■，

由于点M同时在直线y=■x上，

故6m=■·2m2，解得k=m，

因此PQ∥AB.

若选择②③：设直线AB的方程为y=k（x-2），并设A的坐标为（x3，y3），B的坐标为（x4，y4），

则y3=k（x3-2）y3=■x3，

解得x3=■，y3=■，

同理可得x4=■，y4=■，

设AB的中点C（xC，yC），

则xC=■（x3+x4）=■，

yC=■（y3+y4）=■，

由于MA=MB，故M在AB的垂直平分线上，即点M在直线y-yC=■（x-xC）上，

将该直线y=■x联立，

解得xM=■=xC，yM=■=yC

即点M恰为AB中点，故点M在直线AB上.

【赏析】本题是一道结构不良试题，以探索创新情境为载体。这道题的模式是給出三个条件，让考生选择把其中两个作为条件，另一个作为结论，并进行证明。本题考查了双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系;考查了设而不求思想、方程思想以及化归与转化思想;考查了运算求解能力和逻辑思维能力，具有很好的选拔功能，落实了服务选才的功能。