巧思维切入妙技巧类比

摘要：涉及圆锥曲线中的离心率问题，是历年高考中的常见考点之一，文章结合一道模拟题的实例，发散思维，多角度切入，类比拓展，引领并总结破解技巧与应用．

关键词：椭圆；离心率；二次函数；圆；三角

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）28-0101-03

收稿日期：2022-07-05

作者简介：廖昕（1990.1-），女，甘肃省兰州人，硕士，中学二级教师，从事高中数学教学研究.

涉及圆锥曲线离心率的求值或取值范围问题，变化多端，破解时往往思维多样、策略多变、技巧多样，解决问题时或一种策略独领风骚，或多种策略齐心协力，或另辟蹊径，合理转化，巧妙破解．

1 问题呈现

问题如图1，设双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，M为双曲线上一点，且∠MF2A=∠MAF2=2∠MF1A，则双曲线的离心率为.

此题以双曲线为问题背景，通过双曲线的两个焦点与一个顶点，以及双曲线上的一个点，组成一个复合的三角形，利用相关内角之间的相等、倍数关系等合理构建，进而确定双曲线的离心率的值．

2 问题破解

解法1（三角函数定义+余弦定理法）

因为∠MF2A=∠MAF2=2∠MF1A，

则有|AM|=|MF2|=|AF1|=c+a.

结合双曲线的定义，可得

|MF1|=2a+|MF2|=3a+c.

而cos∠MAF2=|AF2|2|AM|=c-a2（c+a），

利用余弦定理有

cos∠MAF1=|AM|2+|AF1|2-|MF1|22|AM|·|AF1|

=2（c+a）2-（3a+c）22（c+a）2.

由cos∠MAF2+cos∠MAF1=0，可得

c-a2（c+a）+2（c+a）2-（3a+c）22（c+a）2=0.

整理，得c2-ac-4a2=0.

即e2-e-4=0.

解得e=1±172.

由于e>1，则有e=1+172.

解法2（余弦定理法）

因為∠MF2A=∠MAF2=2∠MF1A，

则有|AM|=|MF2|=|AF1|=c+a.

结合双曲线的定义，可得

|MF1|=2a+|MF2|=3a+c.

利用余弦定理有

cos∠MF1A=|MF1|2+|AF1|2-|AM|22|MF1|·|AF1|

=|MF1|2+|F1F2|2-|MF2|22|MF1|·|F1F2|.

故（3a+c）2+（c+a）2-（c+a）22（3a+c）（c+a）

=（3a+c）2+（2c）2-（c+a）22（3a+c）×2c.

整理得（c-a）（c2-ac-4a2）=0.

即c2-ac-4a2=0.下同解法1.

解法3（相似三角形法）

因为∠MF2A=∠MAF2=2∠MF1A，

则有|AM|=|MF2|=|AF1|=c+a.

结合双曲线的定义，可得

|MF1|=2a+|MF2|=3a+c.

如图2，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，过点A作AH⊥MF1，垂足为点H，则有

|AN|=|NF2|=c-a2，|ON|=a+c2.

易得Rt△MF1N∽Rt△AF1H.

可得|NF1||MF1|=|HF1||AF1|.

则有c+a+c23a+c=3a+c2c+a.

整理，得c2-ac-4a2=0.下同解法1.

解法4（勾股定理法）

因为∠MF2A=∠MAF2=2∠MF1A，

则有|AM|=|MF2|=|AF1|=c+a.

结合双曲线的定义，可得

|MF1|=2a+|MF2|=3a+c.

过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，过点A作AH⊥MF1，垂足为点H，

则有

|AN|=|NF2|=c-a2，|ON|=a+c2.

利用勾股定理，在Rt△AMN中，可得

|MN|2=|AM|2-|AN|2=（c+a）2-（c-a2）2.

又在Rt△F1MN中，可得

|MN|2=|MF1|2-|NF1|2=（3a+c）2-（c+a+c2）2.

故（c+a）2-（c-a2）2=（3a+c）2-（c+a+c2）2.

整理，得c2-ac-4a2=0.下同解法1.

解法5（二倍角公式法）

因为∠MF2A=∠MAF2=2∠MF1A，

则有|AM|=|MF2|=|AF1|=c+a.

结合双曲线的定义，可得

|MF1|=2a+|MF2|=3a+c.

过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，则有

|AN|=|NF2|=c-a2，|ON|=a+c2.

而cos∠MF2A=|NF2||MF2|=c-a2（c+a），

cos∠MF1A=|NF1||MF1|=c+a+c23a+c=a+3c2（3a+c），

而∠MF2A=2∠MF1A，结合二倍角公式可得

c-a2（c+a）=2[a+3c2（3a+c）]2-1.

整理，得c2-ac-4a2=0.下同解法1.

解法6（二倍角三角形性质法）

因为∠MF2A=∠MAF2=2∠MF1A，

则有|AM|=|MF2|=|AF1|=c+a.

结合双曲线的定义，可得

|MF1|=2a+|MF2|=3a+c.

在△MF1F2中，∠MF2A=2∠MF1A，

结合二倍角三角形性质，可得

（3a+c）2=（c+a）（c+a+2c）.

整理，得c2-ac-4a2=0.下同解法1.

3 变式拓展

探究1保留题目创新情境，改变圆锥曲线的类型，将原来的双曲线问题类比到椭圆问题，保留相关条件以及角之间的关系，同样可以确定椭圆的离心率问题，得到以下相应的变式问题．

变式1设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，M为椭圆上一点，且∠MF2A=∠MAF2=2∠MF1A，则椭圆的离心率为.

解析因为∠MF2A=∠MAF2=2∠MF1A，则有|AM|=|MF2|=|F1F2|=2c.

结合椭圆的定义，可得

|MF1|=2a-|MF2|=2a-2c.

在△MF1A中，∠MAF2=2∠MF1A，

结合二倍角三角形性质，可得

（2a-2c）2=2c（2c+a+c）.

整理，得c2+5ac-2a2=0.

即e2+5e-2=0，解得e=-5±332.

由于0

探究2保留题目的创新背景，改变题目部分条件，以等腰三角形以及对应的线段长度等为背景来创设，进而确定相应双曲线的离心率．

变式2设双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，M为双曲线右支上一点，|MF1|=5a，若△F2MA是以∠AMF2为顶角的等腰三角形，则双曲线的離心率为.图3

解析结合双曲线的定义，可得

|MF1|=2a+|MF2|=5a，解得|MF2|=3a.

如图3，取AF2的中点N，由△F2MA是以∠AMF2为顶角的等腰三角形，可知MN⊥F1F2.

可知|NF1|=3c+a2，|NF2|=c-a2.

利用勾股定理，可得

25a2-（3c+a2）2=9a2-（c-a2）2.

整理，得c2+ca-8a2=0.

即e2+e-8=0，解得e=-1±332.

由于e>1，则有e=33-12.

4 解后反思

4.1 思维发散，方法归纳

破解以双曲线为载体的圆锥曲线问题，利用圆锥曲线的定义确定相应的线段长度，利用条件中角之间的关系，可以考虑从解三角形思维、平面几何思维、三角函数思维、特殊三角形思维、解析几何思维以及圆锥曲线的定义思维等来切入，结合平面几何、余弦定理、三角函数以及距离公式等知识，归纳相应的方法来分析，达到解决问题的目的．

4.2 探究拓展，能力提升

涉及圆锥曲线的问题，可以在一定条件下加以合理类比，进而挖掘、探究，得到与之相关的其他问题，拓展思维，从而全面提升思维能力、解题能力，提升数学品质，提高数学能力，培养核心素养．

参考文献：

［1］蔡振树.圆锥曲线离心率范围问题的常见题型评析[J].数理化解题研究，2018（10）：4-5.

[2] 王淼生，黄昌毅.焦点三角形性质归类[J].数学通讯，2016（16）：41-45.