对一道高考圆锥曲线试题的推广及证明
2022-05-30付宏祥
摘要：本文從2020年全国Ⅰ卷理科21题的一道圆锥曲线试题出发，透过题目具体数量关系探究其内在联系，经过深入分析论证，形成具有普遍意义的结论，并尝试加以证明．
关键词：圆锥曲线；定点；定直线
中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）28-0010-03
收稿日期：2022-07-05
作者简介：付宏祥（1976-），甘肃省定西人，中学高级教师，从事高中数学教学研究。
1 问题的提出
题目（2020年全国Ⅰ卷理科20题） 已知A，B分别为椭圆E：x2a2+y2=1（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，AG·GB=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点．
笔者在对该题探究中发现，问题可推广到圆锥曲线的椭圆与双曲线的一般情形，有如下结论：
结论1已知A，B分别为椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右顶点，P为直线x=ka（k>0且k≠1）上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．则直线CD过定点
Q（ak，0）．
结论2已知A，B分别为双曲线E：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右顶点，P为直线x=ka（k>0且k≠1）上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为B．则直线CD过定点Q（ak，0）.
2 结论的证明
2.1 结论1的证明
证明依题意有A（-a，0），B（a，0）．
如图1，设直线x=ka与x轴交于点M．
①当点P为点M时，点C，D分别与点B，A重合，此时，直线CD为x轴；
②当点P为除点M外的任意动点时，设点P的坐标为（ka，1m），则直线PA的方程为x=（k+1）may-a．
由x2a2+y2b2=1，x=（k+1）may-a， 得
［（k+1）2m2b2+1］y2-2（k+1）mb2y=0．
解得y=2（k+1）mb2（k+1）2m2b2+1，或y=0（舍去）．
所以点C的坐标为
（（k+1）2m2b2-1（k+1）2m2b2+1a，2（k+1）mb2（k+1）2m2b2+1）．
同理，直线PB的方程为x=（k-1）may+a.
代入x2a2+y2b2=1中，化简整理，得
［（k-1）2m2b2+1］y2+2（k-1）mb2y=0．
解得y=-2（k-1）mb2（k-1）2m2b2+1，或y=0（舍去）．
所以点D的坐标为
（1-（k-1）2m2b2（k-1）2m2b2+1a，-2（k-1）mb2（k-1）2m2b2+1）．
（1）若直线CD的斜率不存在，则yC=-yD.
即2（k+1）mb2（k+1）2m2b2+1=2（k-1）mb2（k-1）2m2b2+1.
化简整理，得（k2-1）m2b2=1.
于是有m2=1（k2-1）b2．
此时直线CD的方程为x=ak，直线CD过点（ak，0）．
（2）若直线CD的斜率存在，则
kCD=2kmb2［（k2-1）m2b2-1］a．
故直线CD的方程为
y+2（k-1）mb2（k-1）2m2b2+1
=2kmb2［（k2-1）m2b2-1］a［x-1-（k-1）2m2b2（k-1）2m2b2+1a］
化简整理，得
y=2kmb2［（k2-1）m2b2-1］a（x-ak）．
故直线CD过定点（ak，0）．
综上所述，直线CD过定点（ak，0）．
注（1）圆锥曲线中的椭圆为封闭曲线，直线PA，PB与椭圆一定存在两个交点，结合图象可知，当0
（2）根据椭圆具有的对称性质，该结论在k<0且k≠-1时仍然成立，故将结论1可推广到k≠0，k≠±1的任意常数结论都成立；
（3）上述2020年全国Ⅰ卷理科21题为结论1在a=3，b=1，k=2的特殊情形．
2.2 结论2的证明
证明依题意有A（-a，0），B（a，0）．
如图2，设直线x=ka与x轴交于点M．
①当点P为点M时，点C，D分别与点B，A重合，此时，直线CD为x轴；
②当点P为除点M外的任意动点时，设点P的坐标为（ka，1m），则直线PA的方程为x=（k+1）may-a．
由x2a2-y2b2=1，x=（k+1）may-a， 得
［（k+1）2m2b2-1］y2-2（k+1）mb2y=0．
当（k+1）2m2b2-1=0时，直线PA与双曲线E仅有一个交点，不合题意；当（k+1）2m2b2-1≠0时，可解得y=2（k+1）mb2（k+1）2m2b2-1，或y=0（舍去）．
所以点C的坐标为
（（k+1）2m2b2+1（k+1）2m2b2-1a，2（k+1）mb2（k+1）2m2b2-1）．
同理，直线PB的方程为
x=（k-1）may+a.
代入x2a2-y2b2=1中，化简整理，得
［（k-1）2m2b2-1］y2+2（k-1）mb2y=0．
当（k-1）2m2b2-1=0时，直线PB与双曲线E仅有一个交点，不合题意；
当（k-1）2m2b2-1≠0时，解得
y=-2（k-1）mb2（k-1）2m2b2-1，或y=0（舍去）．
所以点D的坐标为
（（k-1）2m2b2+11-（k-1）2m2b2a，-2（k-1）mb2（k-1）2m2b2-1）．
（1）若直线CD的斜率不存在，则yC=-yD.
即2（k+1）mb2（k+1）2m2b2-1=2（k-1）mb2（k-1）2m2b2-1.
化简整理，得（1-k2）m2b2=1.
于是有m2=1（1-k2）b2．
此时直线CD的方程为x=ak，直线CD过点（ak，0）．
（2）若直线CD的斜率存在，则
kCD=2kmb2［（k2-1）m2b2+1］a．
故直线CD的方程为
y+2（k-1）mb2（k-1）2m2b2-1
=2kmb2［（k2-1）m2b2+1］a［x-（k-1）2m2b2+11-（k-1）2m2b2a］
化简整理，得y=2kmb2［（k2-1）m2b2+1］a（x-ak）．
故直线CD过定点（ak，0）．
综上所述，直线CD过定点（ak，0）．
注（1）圆锥曲线中的双曲线为非封闭曲线，当（k-1）2m2b2-1=0时，直线PA，PB与双曲线的两条渐近线平行，除A，B外无另一交点，不符合题意；当（k-1）2m2b2-1≠0时，直线PA，PB与双曲线一定存在两个交点，结合图象可知，若0
（2）根据双曲线具有的对称性质，该结论在k<0且k≠-1时，仍然成立，故亦可将结论2推广到k≠0，k≠±1的任意常数结论都成立．
3 结论的拓展
结论3已知A，B分别为椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右顶点，过定点Q（ak，0）（k≠0且k≠±1）作直线CD交椭圆E于C，D两点，连接AC，BD交于点P，则点P在定直线x=ka上．
结论4已知A，B分别为双曲线E：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右顶点，过定点Q（ak，0）（k≠0且k≠±1）作直线CD交双曲线E于C、D两点，连接AC，BD交于点P，则点P在定直线x=ka上．
结论3，4与结论1，2的条件与结论对调，易于证明结论3，4，本文不再赘述．
参考文献：
［1］邓启龙.2020年全国Ⅰ卷理科数学第20题的探究与推广[J].理科考试研究，2021，28（03）：2-6.
[2] 杨伟达.2020年全國Ⅰ卷理科解析几何第20题的剖析与探究[J].数理化解题研究，2021（31）：33-34.
