研究离心率的求法

摘要：圆锥曲线的离心率是高考的重要考点，题型灵活多变，解法总体可以从代数和几何两个角度入手，但不同解法的运算量差距很大，一题多解研究离心率问题很重要，往往可以发现最优解，巧妙解.

关键词：双曲线；离心率；解法

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）28-0027-04

收稿日期：2022-07-05

作者简介：徐健（1970-），女，江苏省海安人，本科，中学高级教师，从事中学数学教学研究.

2022年3月23日下午，乌鲁木齐地区全体高三学生和部分高中数学老师参加了本地高度重视的高三第二次质量检测考试，题目较以往有明显的变化：新颖但偏易！但是第11题大家一致反映不好做，花了很多时间却无果而终，甚至影响了后续答题，这种反应老师中也存在.因此，我第一时间展开了研究，先分享于此，以飨读者.

1 题目呈现

题目（乌鲁木齐地区2022年高三年级第二次质量检测数学理科第11题） 已知双曲线方程为x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，点P位于第一象限的渐近线上，满足PF1⊥PF2，PF1与另一条渐近线交于点Q，若PQ∶QF1=3∶2，则双曲线的离心率为（）.

A.54B.43C.53D.2

2 总体把握

要求双曲线的离心率，本质就是寻求其参数a，c的关系，进而要寻找建立关系的条件.显然点P，Q在双曲线的渐近线上就是突破口，那么这两点的坐标必须被双曲线的参数a，b，c表达，所以问题归结为探究点P，Q的坐标.由几何位置关系知，点P制约着点Q，因此突破点P的坐标是关键，我们尝试着用a，b，c来表达.

3 解法探究

策略1估算速解.

解法1如图1，记坐标原点为O，显然OP是Rt△PF1F2斜边上的中线，于是OP=c.

又因为点P在渐近线y=bax上，且c2=a2+b2，所以猜测P（a，b）.

由已知PQ∶QF1=3∶2，得PQ=35PF1.

设Q（m，n），则

（m-a，n-b）=35（-c-a，-b）.

所以m-a=35（-c-a），n-b=35（-b）.

解得m=25a-35c，n=25b.（*）

将（*）代入y=-bax，得

2b5=-ba（25a-35c）.

整理，得45=35·ca.

所以e=43.

故选B.

评注作为考试，又快又准答题是非常重要的.估算猜想可以實现速解.猜想当然需要解题经验和正确的理论支持.本解法就是依据曲线与方程的关系和参数的数量关系c2=a2+b2合理推理后猜想而得.

策略2利用直线和圆的方程求交点.

解法2因为PF1⊥PF2，所以点P的轨迹方程为x2+y2=c2（除去点F1，F2）.

由x2+y2=c2，y=bax，得

x2+（bax）2=c2.

整理，得（a2+b2）x2=a2c2.

因为a2+b2=c2，

所以c2x2=a2c2.

解得x=a.

所以y=ba×a=b.

因此点P的坐标P（a，b）.

以下同解法1.

策略3利用向量垂直建立方程.

解法3因为PF1⊥PF2，

所以PF1⊥PF2.

于是PF1·PF2=0.

设P（s，t），

则（-c-s，-t）·（c-s，-t）=0.

整理，得s2+t2=c2.①

又P（s，t）在直线y=bax上，

所以t=bas.②

有①②解得P（a，b）.

以下同解法1.

策略4依托斜率关系式建立方程.

解法4因为PF1⊥PF2，

所以kPF1·kPF2=-1.

设P（u，v），

则v-0u+c·v-0u-c=-1.

整理，得u2+v2=c2.③

又P（u，v）在直线y=bax上，

所以u=bav.④

由③④解得P（a，b）.

以下同解法1.

策略5依托两直线方程求点Q的坐标.

解法5由前文知点P（a，b），又F1（-c，0），

所以F1（-c，0）.

所以kPF1=ba+c.

故PF1所在直线方程为y=ba+c（x-c）.

联立y=ba+c（x+c），y=-bax，得

点Q（-ac2a+c，bc2a+c）.

由已知得F1Q=25F1P.

所以（-ac2a+c+c，bc2a+c）=25（a+c，b）.

由bc2a+c=25b，

得4a=3c.

从而离心率e=ca=43.

故选B.

评注解法2，3，4，5均在交点上做文章，只是曲线（直线）方程产生的渠道不同而

已，殊途同归.可以根据自己的喜好进行选择，运算量差距不大.多角度思考，有助于提高学生的应试能力，拓广思维.而考生思维受阻的原因是引入变量太多，将点P，Q的横纵坐标均看作相互独立的4个变量，未准确把握它们之间的数量关系.

策略6依托三角函数关系式建立方程.

解法6由已知得kOP=ba.

设∠POx=α，α是锐角，那么tanα=ba.

由同角三角函数的基本关系，得

sinα=bc，cosα=ac.

由直角三角形中的三角函数，得

Px=c×ac=a，Py=c×bc=b.

因此点P的坐标P（a，b）.

以下同解法1.

评注解析几何中恰当引入三角函数往往可以减少变量，降低运算量.本题的相关点不

在双曲线上，不易引入三角函数，需要綜合考虑，从直线倾斜角的角度引入角，然后才有三角运算，解题过程十分简洁.

策略7几何法，构造相似形直接得解.

解法7如图2，设点P关于y轴的对称点为P′，结合前文得P′（-a，b）.

同时，PP′∥OF1.

所以△QPP′∽△QOF1.

于是PQ∶QF1=PP′∶OF1.

因为PQ∶QF1=3∶2，

所以PP′∶OF1=2a∶c=3∶2.

解得e=ca=43.

评注解析几何的本质是几何，能够将解析几何问题的数量关系转化为几何位置关系，通常会大大降低运算量，使解题显得简洁明了.当然，这种转化还是很不容易的，纵观以上解法，本解法最为巧妙便捷.

4 追踪溯源

题1（2017年乌鲁木齐地区教师业务考试卷第11题）已知双曲线C∶x2a2-y2b2=1的左、右焦点分别为F1，F2，在双曲线上存在一点P，使得PF1与渐近线平行，∠F1PF2=π2，则双曲线C的离心率为（）.

A.3B.5C.5D.2

参考答案C.

题2（2018年全国高考Ⅲ卷理科卷第11题） 设F1 ，F2是双曲线C∶x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点，O是坐标原点，过点F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为点P.若PF1=6OP，则C的离心率为（）.

A.5B.2C.3D.2

参考答案C.

题3（2019年全国高考Ⅰ卷理科卷第16题）已知双曲线C∶x2a2-y2b2=1的左、右焦点分别为F1 ，F2，过点F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若F1A=AB，F1B·F2B=0，则C的离心率为.

参考答案e=2.

评注以上三个题目均是直角背景下求双曲线的离心率问题，解法多样，但最简洁还是几何法，限于篇幅，请数学同仁自行探究，感悟其中的乐趣.

5 变式拓展

变式1已知双曲线方程为x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点P位于双曲线第一象限的图象上，满足PF1⊥PF2，PF1与斜率为负值的渐近线交于点Q，若PQ∶QF1=

3∶2，则双曲线的离心率为.

变式2已知双曲线方程为x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过点F2作直线l⊥x轴，l与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P，PF1与另一条渐近线交于点Q，若PQ∶QF1=3∶2，则双曲线的离心率为.

变式3已知双曲线方程为x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过点F2作直线l⊥x轴，l与双曲线在第一象限的交点为P，PF1与另一条渐近线交于点Q，若PQ∶QF1=3∶2，则双曲线的离心率为.

评注直角背景下的离心率问题很活，以上仅从直角顶点的位置在渐近线上、在曲线上、在坐标轴上进行了改装 ，问题就变得耳目一新.事实上还可变换曲线，将双曲线换成椭圆，这类问题也很受高考命题专家的青睐，有兴趣的同仁可以查阅历年高考题.

6 题型综述

直角背景下的离心率问题通常应从以下角度思考：圆锥曲线的第一定义式，正余弦定理，焦点三角形面积，三角换元，直线与直线的关系，直线与曲线的关系，向量的数量积，直线的斜率，互补角的诱导公式，互余角的诱导公式，相似形等，再辅以代数运算技巧，一般可以解决问题.其中最优解法是构造相似形的纯几何法，同时也是思维量最大的解法.多从几何角度思考研究此类问题有助于提高解题速度和正确率.

参考文献：

［1］李昌成.结论应用重要 结论证明更重要——以一个双曲线的结论为例[J].中学生理科应试，2022（03）：13-15.

[2] 任志鸿.十年高考[M].北京：知识出版社，2019.

［3］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［4］ 杜海洋.一道压轴小题的巧解浅议圆锥曲线离心率的常见求法［J］.数理化解题研究，2021（31）：16-17.

［5］ 吴喜平.求圆锥曲线离心率的三种思路［J］.语数外学习，2021（11）：40.