固本思“源” 无中生“圆”

王进

教材的例题是学习之“源”，部分中考题实际上就是在教材例题或习题的基础上，进行组合、加工、深化得到的。因此，同学们要重视自己的学习过程，对教材中的例题变式或习题变式多加思考，以锻炼自己的数学思维能力。下面以苏科版数学教材九年级上册第57页的例2为模板，谈谈例题的学习与拓展。

【原题呈现】如图1，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD=60°，∠ADC=50°。求∠CEB的度数。

【分析】本题要想求∠CEB的度数，从原图上来看似乎只能借助对顶角、邻补角或三角形的外角来解决，但这三种思路无法与“∠ADC=50°”建立实质性的关联，所以想到作辅助线。由条件“AB是⊙O的直径”联想到构造直径所对的圆周角，所以连接BD得到△BDE，再借助外角的性质定理即可求出“∠CEB=∠ABD+∠EDB”。此时只剩下∠ABD一个未知量，利用“同弧所对的圆周角相等”即可化未知为已知。辅助线也可以连接BC，再借助三角形内角和定理求出∠CEB的度数。

本题在连接BD后，构造出了直角、同弧所对的圆周角以及△BDE。通过辅助线构造新的角是几何证明常见的方法之一，而辅助线的选择往往和题目中的已知条件和未知的结论相关，由“已知”想“可知”，由“未知”推“需知”，从两头出发，向中间靠拢，最终选择最优辅助线。

变式1 （2019·江苏南京）如图2，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB=CD。求证：PA=PC。

【分析】想要证明两条线段相等，如果将其分别放在两个三角形中，首先想到证明“两个三角形全等”；如果将其放在一个三角形中，首先想到利用“等角对等边”证明这个三角形是等腰三角形。通过比较，发现连接AC构造△APC更为简便，再利用“等弧所对的圆周角相等”即可证明△APC为等腰三角形。

证明：连接AC。

∵AB=CD，∴[AB]=[CD]。

∴[AB]+[BD]=[CD]+[DB]，即[AD]=[CB]。

∴∠C=∠A。∴PA=PC。

【点评】“全等”“等角对等边”是证明两边相等的两种常见方法。而在圆中，我们需要利用“同弧或等弧所对的圆周角相等”来找到具有相等关系的角，从而掌握更为简便的证明方法。

变式2 （2022·新疆）如图3，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC=CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E。求证：BE⊥CE。

【分析】对于这类题型，我们应利用好圆的性质，抓住“同弧或等弧所对的圆周角相等”“圆内接四边形的对角互补”等关键信息，寻找相等关系的角。从位置关系想数量关系，从数量关系想位置关系，做好“数量关系”与“位置关系”之间的转化。

证明：连接OC。

∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE=90°。

∵AC=CD，∴∠ADC=∠CAD。

∵[AC]=[AC]，∴∠ADC=∠ABC。

∴∠CAD=∠ABC。

∵四邊形ADBC是圆内接四边形，

∴∠CAD+∠DBC=180°。

又∵∠DBC+∠CBE=180°，

∴∠CAD=∠CBE。

又∵∠ABC=∠CAD，∴∠ABC=∠CBE。

∵OB=OC，∴∠ABC=∠OCB。

∴∠CBE=∠OCB。∴OC∥BE。

∴∠OCE+∠E=180°。

∴∠E=180°-∠OCE=180°-90°=90°。

∴BE⊥CE。

【点评】本题重在考查同学们对圆的性质的灵活运用。我们在熟悉教材例题的同时，也要经常思考如何才能巧妙地架起多个知识点间的桥梁，如何选择和串联好不同的定理，只有在不断的反思与总结中才能做到熟能生巧。

变式3 如图4，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点P是梯形外一点，PD与底边BC相交于E，若PA=PC，∠APC=∠BCD，求证：PB=PE。

【分析】引入四边形的外接圆，通过证四点共圆，证五点共圆，将图形放在同一个圆中处理，利用“同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”从而使问题得到顺利解决。

证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，

∴∠ABC=∠DCB，AB=CD。

∵AD∥BC，

∴∠ABC+∠BAD=180°，∠DCB+∠ADC=180°。

又∵∠ABC=∠DCB，

∴∠ABC+∠ADC=180°，∠DCB+∠BAD=180°。

∴点A、B、C、D四点共圆。

∵∠APC=∠BCD，∠DCB+∠ADC=180°，

∴∠APC+∠ADC=180°。

∴点A、P、C、D四点共圆。

∴点A、B、P、C、D五点共圆。

∴∠BAP=∠ECP。

∵AB=CD，∴[AB]=[CD]。

∴∠APB=∠CPE。

在△ABP和△CEP中，

∴△ABP≌△CEP（ASA）。

∴PB=PE。

【点评】借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”构造出“辅助圆”，再利用“同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”将看似无关的两个角建立起等量关系，最后利用“三角形全等”得证。

变式4 （2017·广西河池）如图5，在矩形ABCD中，AB=[2]，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是。

【分析】如图6，连接DE，首先因为E是矩形ABCD边BC的中点，由矩形的对称性可知DE=AE，所以Rt△ABE和Rt△DCE的外接圆是等圆（直径AE=DE）。因为∠EFD+∠DCE=90°+90°=180°，所以点D、F、E、C四点共圆。由“圆的内接四边形的外角等于内对角”可知∠AEB=∠CDF，即得到两等圆中的等角。最后，通过“等角对等弦”即可求出CF=AB=[2]。

【点评】“同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”是我们经常使用的圆的性质定理，但其实，在等圆中也同样适用。在常规的几何图形中构造等圆是本题的一个妙解，用“等角对等弦”来解决，新颖别致，简洁明了。

许多同学在圆的学习中都会通过添加垂线段、连接圆心与圆上一点形成半径或连接圆上两点形成直径等进行解题，这类方法可以解决部分题型的变式，但在解决一些较难问题时，上述方法就起不了太大作用。例如，在上述变式3和变式4中，题目中本身没有圆，但往往只需要在图形中构造“辅助圆”，根据圆的相关性质，就能使问题化难为易。

（作者单位：江苏省南京市致远初级中学）