神奇的线段垂直平分线

夏明

沈阳新民市卢家屯学校孙艳玲校长的直播课《利用垂直平分线进行边角转化》，选自辽宁教育学院“学到汇”公众服务平台“辽宁省初中数学学科周末名师公益课堂”，旨在引领教师专业发展，服务学生自主学习，减轻学生学业负担。

线段垂直平分线的神奇之处在于它能把角平分线、等腰三角形、轴对称串在一起，形成一条神奇的知识线. 观看了孙艳玲校长的直播课《利用垂直平分线进行边角转化》，同学们会对线段垂直平分线有更明确的认识.

知识关联

1. 若已知点P在线段AB的垂直平分线上，则必连接PA，PB，可得PA = PB，构成等腰三角形，得到角平分线，在等腰三角形中，用角平分线的性质解决更深入的问题.

2. 通过PA = PB，可得点P在线段AB的垂直平分线上，再结合其他条件确定点P的位置，继而解决等腰三角形存在性问题中以已知线段为底的顶点位置的确定.

3. 线段垂直平分线是线段的对称轴，可以利用勾股定理，结合翻折问题和方程思想解决相关问题.

真题呈现

例1 在△ABC中，∠A = 90°，AB = AC，D，E，F分别在AB，AC，BC上，且AD = AE，CD为EF的中垂线，求证：BF = 2AD.

解法1：如图1，连接DE，DF，作DG⊥BC于G.

∵DC为EF的中垂线，

∴DE = DF，CE = CF，DC⊥EF，∴∠1 = ∠2.

∵∠A = 90°，∴DA⊥AC. ∵DG⊥BC，∴DA = DG.

∵DE = DF，∴Rt△ADE ≌ Rt△GDF（HL），∴AE = GF.

∵AD = AE，∴AD = DG = GF. ∵∠A = 90°，AB = AC，∴∠B = ∠ACB = 45°.

∵∠DGB = 90°，∴∠BDG = 45°， ∴∠BDG = ∠DBG，∴DG = BG，∴DG = BG = GF，

∴DG =  [12]BF，∴AD = [12]BF，即BF = 2AD.

解法2：如图2，连接DE，DF，延长BA到G，使GA = DA. 连接GE，则AE垂直平分DG，得到GE = DE = DF，易得∠G = ∠ADE = ∠B = ∠ACB = 45°，且DC平分∠EDF，CD平分∠ACB，可证△DEG≌△BDF，得出DG = BF，进而得到BF = 2AD.

反思：上述两种方法都从线段垂直平分线入手，构造等腰三角形，并结合“三线合一”得出结论.  解法2还运用了“截长补短”的数学思想.

例2 已知平面内点A（0，2），B（2，0），（1）求点A，B所在直线的解析式；（2）坐标轴上是否存在一点C，使△ABC为等腰三角形？

解析：（1）易得y = -x + 2.

（2）可分三种情况：①若AB = AC，则以A为圆心、AB长为半径画圆，与坐标轴交于点C1，C2，C3，C4；②若AB = BC，則以B为圆心、AB长为半径画圆，与坐标轴交于C5，C6，C7，C8；③若AC = BC，线段AB的中垂线经过点O，点O与C9重合. 故有9个点使△ABC为等腰三角形.

反思：第二问中的第三种情况，确定点C的位置就是利用了线段垂直平分线的判定.

分层作业

难度系数：★★★解题时间：８分钟

1. A，B两点表示在一条东西走向公路的同旁的两所学校，以公路所在直线为x轴建立如图4所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）. （1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使点C到A，B的距离相等？如果有，请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标. （2）若在公路边点P处建一游乐场，使游乐场到两校距离之和最小，试通过作图在图4中找出建游乐场的点P的位置，并求出它的坐标.

2. 如图5，在△ABC中，点D为BC的中点，点E，F分别是AB，AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE + CF > EF. （答案见第27页）

（作者单位：大连市第七十一中学）