形式多样的一次函数应用题

游淑溶

在中考试卷中，一次函数应用题的呈现方式是形式多样的，下面举例说明.

一、纯文字的形式呈现

例1 （2022·四川·泸州）某经销商计划购进A，B两种农产品. 已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元.

（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？

（2）该经销商计划用不超过5 400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品的件数的3倍. 如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？

解析：（1）设B种农产品的价格为x元/件，则由“购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元”可知A种农产品的价格为（720 - 4x）元/件，根据“购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元”，列方程为2（720 - 4x） + 3x = 690，解得x = 150，则720 - 4x = 120. 即A，B两种农产品每件的价格分别是120元和150元.

（2）设购进A种农产品m件，则购进B种农产品（40 - m）件. 若用5400元购进A，B两种农产品共40件，则有120m + 150（40 - m） = 5 400，解得m = 20. 由“用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件”可得120m + 150（40 - m） < 5 400，∴m ≥ 20. 同理，由“A种农产品的件数不超过B种农产品的件数的3倍”，可知m ≤ 30，∴20 ≤ m ≤ 30. 设全部售出后获利为w元，则w = （160 - 120）m + （200 - 150）（40 - m） =  - 10m + 2 000. ∵ - 10 < 0，∴w随m的增大而减小，∴当m = 20时，w取最大值，最大值为1 800元，此时40 - m = 20. 即购进A，B两种农产品各20件时获利最多.

二、文字加图象的形式呈现

例2 （2022·浙江·丽水）因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地. 已知甲、乙两地的路程是330 km，货车行驶时的速度是60 km/h. 两车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数图象如图1. （1）求a的值；（2）求轿车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式；（3）求轿车比货车早多长时间到达乙地.

解析：（1）易知折线是货车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数图象，由图象可知，货车行驶90 km用了a h，而货车行驶时的速度是60 km/h，因此a = 90 ÷ 60 = 1.5（h）.

（2）易知折线是轿车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数图象，由图象可知，轿车用（3 - 1.5）h走了150 km，因此轿车行驶时的速度是150 ÷ （3 - 1.5） = 100（km/h），轿车用（t - 1.5）h离甲地的路程为s km，所以轿车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式为s = 100（t - 1.5），即s = 100 t - 150；

（3）由图象可知，货车在中途停了2 - 1.5 = 0.5（h），因此货车从甲地行驶到乙地所需的时间为330 ÷ 60 + 0.5 = 6（h），而轿车从甲地行驶到乙地所需的时间为330 ÷ 100 = 3.3（h），则6 - （3.3 + 1.5） = 1.2（h），所以轿车比货车早1.2 h到达乙地.

三、文字加表格的形式呈现

例3（2022·四川·南充）南充市被誉为“中國绸都”，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表. 用15 000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件. （1）求真丝衬衫进价a的值. （2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍. 如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？

解析：（1）根据“用15 000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件”可得方程：50a + 80 × 25 = 15 000，解得a = 260. 即真丝衬衫进价a的值为260.

（2）设购进真丝衬衣x件，则购进真丝围巾（300 - x）件.

根据“真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍”，则300 - x ≥ 2x.

∴当x ≤ 100时，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍.

设本次销售获得利润为w元，则w = （300 - 260）x + （100 - 80）（300 - x） = 20x + 6 000. ∵20 > 0，∴w随x的增大而增大，∴当x = 100时，w取最大值，最大值为8 000元，此时300 - x = 200.

因此，当购进真丝衬衣100件、真丝围巾200件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利润是8 000元.

（作者单位：江苏省泰州市姜堰区城西实验学校）