对一道三角函数不等式问题解法的探究

林庆勇

三角函数不等式问题具有较强的综合性，不仅考查三角函数的图象、性质、公式以及不等式的性质，还考查同学们综合运用不等式、三角函数知识解题的能力．解答三角函数不等式问题，往往要先利用三角函数中的基本公式进行三角恒等变换，将不等式、已知关系式化为最简形式；然后利用三角函数的图象和性质、不等式的性质、基本不等式、导数法、放缩法等证明不等式成立，或建立使不等式恒成立的关系式，下面以一道题为例，探讨一下三角函数不等式问题的解法．

例题：已知f（x）=2 sinx -x cosx -x，當X∈[0，π]时，f（x）≥ax恒成立，求a的取值范围，

该问题中含有三角函数式、一次函数式，需先运用三角函数中的基本公式将函数式和不等式化简，然后采用分离参数法和数形结合法求解．

解法1．分离参数法

分离参数法通常适用于求解含参不等式问题．其解题的步骤为：（1）将不等式进行变形，把变量与参数分离开来，使不等式的一边含有参数、另一边含有变量；（2）将不含有参数的式子构造成函数，将不等式变为f（x）>a或f（x）a或f（X）max

可见，解答三角函数不等式问题，既可以从三角函数的图象人手，也可以从不等式的结构特点人手寻找不同的解题思路．对于较为复杂的三角函数不等式问题，无论运用分离参数法还是运用数形结合法求解，都需构造新函数模型，利用导数的性质来求最值．