中国古籍中的勾股定理

潘华伟

“折竹抵地”

《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成书于公元一世纪左右。全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，是一本综合性的历史著作，也是当时世界上最简练、有效的应用数学著作。它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系。

《九章算术》中有一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。问：折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺。试问折断处离地面多高（如图1）？

我们可以设竹子折断处离地面x尺，如图2，构造直角三角形，则斜边为（10-x）尺，根据勾股定理，得x2+32=（10-x）2，解得x=[9120]。故折断处离地面[9120]尺。

“秋千荡高”

《直指算法统宗》也是中国古代数学名著。该书共17卷，卷1和卷2介绍数学名词、大数、小数和度量衡单位以及珠算盘式图、珠算各种算法口诀等，并举例说明具体用法；卷3至卷12按“九章”次序列举各种应用题及解法；卷13到卷16为“难题”解法汇编；卷17是“杂法”。书后附录《算经源流》一篇，著录了北宋元丰七年（1084年）以来的数学书目51种。从中国古代数学的整个发展过程来看，从流传的长久、广泛和深入程度来讲，这是任何一部数学著作都不能相比的。

《直指算法统宗》中曾以《西江月》为词牌，叙述了一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地。送行二步與人齐，五尺人高曾记。仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉。良工高士素好奇，算出索长有几？”

译文：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，踏板就和人一样高。这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？

我们可以将原问题转化为数学问题，得到图3。其中 AC=1尺，EB=10尺，BD=5尺。我们可以设OA=OB=x尺，因为EC=BD=5尺，AC=1尺，所以EA=4尺，OE=OA-AE=（x-4）尺。在Rt△OEB中，根据勾股定理，得x2=（x-4）2+102，解得x=14.5。故秋千绳索的长度是14.5尺。

同学们，你能用刚才的知识和方法解答下面这道中考题吗？

勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A、B、C三地的坐标，数据如图4所示（单位：km）。笔直铁路经过A、B两地。

（1）A、B间的距离为 km；

（2）计划修建一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A、C的距离相等，则C、D间的距离为 km。

因为A、B两点的纵坐标相同，我们得到AB∥x轴，所以AB=12-（-8）=20，所以A、B间的距离为20km。根据“两点之间垂线段最短”，我们可以求出最短公路l，即过C点作l⊥AB于点E。连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，则点D是所求的位置（如图5）。由（1）可知：CE=1-（-17）=18，AE=12，设CD=x，所以AD=CD=x，由勾股定理得x2=（18-x）2+122，解得x=13，所以CD=13。故C、D间的距离为13km。

（作者单位：江苏省南京市鼓楼实验中学）