蚂蚁爬行比赛

李娜

在蚂蚁王国举办的一次爬行比赛中，5只蚂蚁分别从1—5号5个不同的圆柱体水杯底部点A出发，沿着侧面爬行到指定的点B，因为那里有美味的蜂蜜。假设蚂蚁可以听懂指令，不可以直接沿着圆柱某条高爬行，同时，它们的爬行速度相同，且都是沿着最短的路径，那么，哪只蚂蚁最先到达终点呢？

这5個水杯的底面周长和高标注在图1上，长度单位都是cm。蚂蚁国王对5只蚂蚁有着不同的要求，其中3号杯蚂蚁需要途径点C后到达点B，点C到底面的距离为水杯高的[23]；4号杯中，点B到底面的距离为水杯高的[34]；5号杯中，点B为CD中点且在杯的内部，提醒5号蚂蚁，别跑错路线，否则看到吃不到。

【分析】为了寻找最短路线，我们需要运用转化与化归思想，把立体图形的问题转化为平面图形的问题。具体操作：首先，把圆柱的侧面沿某条母线展开；其次，利用两点之间线段最短，确定路线；最后，利用勾股定理来计算。找准展开图中A、B两点的相对位置是本题的关键。

对于1号杯，圆柱的底面周长为9cm，高为12cm，侧面展开后的矩形如图2（其中B′为垂直向上爬行的路径，故舍去。）。因为∠C=90°，AC=9cm，BC=12cm，所以AB2=AC2+BC2=92+122=225，所以AB=15cm。因此，蚂蚁所爬行的最短路径是15cm。

对于2号杯，侧面展开后的矩形如图3，点A、B的最短距离即为线段AB的长。其中∠C=90°，BC=12cm，AC为底面周长的一半，即9cm，所以AB2=AC2+BC2=92+122=225，所以AB=15cm。因此，蚂蚁爬行的最短路线长为15cm。

对于3号杯，我们要区分与2号杯的不同，知道蚂蚁是沿水杯表面爬行1圈半。因为蚂蚁是经过点C后再到达点B，所以类比2号杯侧面展开后的矩形，点C位置位于线段AB上，如图4。其中∠F=90°，AF=6×1.5=9（cm），BF=12cm，由勾股定理得AB2=AF2+BF2=92+122=225，所以AB=15cm。因此，蚂蚁爬行的最短路线长为15cm。

对于4号杯，如图5，因为圆柱的底面周长为18cm，AC为周长的一半，所以AC=9cm。又因为PC=16cm，所以BC=[34]PC=12cm。在Rt△ACB中，因为∠C=90°，所以AB2=AC2+BC2=92+122=225，所以AB=15cm。因此，蚂蚁爬行的最短路线长为15cm。

对于5号杯，与4号杯不同的是蜂蜜在杯子内部，所以蚂蚁需要翻进杯内。假设蚂蚁在杯外边缘某一点P处爬进杯内壁，那么求线段AP+PB最短便转化成我们熟悉的“将军饮马”问题了。此时，作点B关于PC的对称点E，连接AE，即为所求的爬行最短路线，如图6。因为底边圆的一半周长为12cm，即AD=12cm，又因为点B是CD的中点，所以CE=CB=3cm，所以DE=9cm。在Rt△AED中，∠ADE=90°，所以AE2=AD2+DE2=92+122=225，所以AE=15cm。因此，蚂蚁爬行的最短路线长为15cm。

比较5个水杯：1号杯需要展开圆柱侧面完整周长；2号杯与4号杯本质一样，侧面展开一半周长即可；3号杯需要爬行1圈半，展开周长的1.5倍；5号杯与4号杯要区别杯内壁和外壁。解决问题的关键是，先通过观察决定沿着哪条高母线将圆柱侧面展开，然后分析出发点A和目的地点B的具体位置是在展开图的同侧还是分居两侧，最终确定爬行的具体路线。计算发现，原来蚂蚁们围绕高低粗细不同的5个水杯爬行的距离都是15cm，它们的速度相同，所以爬行时间也相同，最终，大家同时吃到了蜂蜜。

（作者单位：江苏省南京市鼓楼实验中学）